Opération des polaires. Si on applique l'opération
df df
dxi dxi
à une forme f= a'%, et si on divise en même temps par le degré w, on obtient une fonction des variables x et 2/» du degré n — i par rapport à x et du premier degré par rapport à y, que l'on appelle première polaire de /". On la désigne par A/". On a, par déûnition,
Or,
par suite,
df df
dxi * dxi
àf = a^-^ {atyt + aty^) = a:^ -*a^ :
ce qui nous apprend que la première polaire s'obtient en remplaçant un facteur aj. par le facteur a .
La seconde polaire de f est l'expression
I / dlf . dAA n — I V aJCi dxij
c'est-à-dire, en effectuant les opérations,
Par chaque opération, le degré diminue d'une unité par rapport à x au proûtdey; si l'on continue ainsi, on trouve successivement :
AY^ar^aJ,
AY=fi^r%S A'f=a:-5a5
AY = a:-*aj.
et, en général,
La dernière polaire sera
AY=a;;
c'est la forme elle-même où la variable x est remplacée par y. Les différentes polaires se déduisent du développement
i ti
On voit, en effet, que la k'^"** polaire de f est le coefficient de A* divisé par
tS4t . La définition précédente des polaires est générale ; lorsque la fonction est un produit de deux formes, on différentie conformément à la règle connue pour un produit. Cherchons, par exemple, la première polaire de
Puisque la fonction est du sixième degré, il faut diviser par 6. On aura
A/-= i {3,alaybl + ^alblby) = } {alabl + alblby).
Si les symboles a et b sont équivalents, cette première polaire se réduit à alttybl'.) car les deux termes se déduisent l'un de l'autre en permutant a et b.
La fonction A/* n'étant plus que du cinquième degré relativement à x, il vient pour la seconde polaire
AY^ î • i(2axaJM + 5CLl(^fblby -\- ^alayblby -{- 2albmbl)
ou bien
A Y = {(ftxfcx&y + zalayblby + a^aj^l),
et lorsque les symboles a et 6 sont équivalents, on aurait :
lalbxbl -{-jalblayby.
Il arrive quelquefois que la forme /"renferme deux séries de variables; il faut alors distinguer les polaires suivant qu'on dérive par rapport àxou par rapport à y; dans le premier cas, nous désignerons encore les polaires par la
caractéristique A et, dans le second, par D. En admettant que /"soit du degré m relativement à a; et du degré n relativement à 2/, on aura :
m\ dxi dxij n\ dyx dyij
m — I V dxx dXi J n — i \ ayi dyr J
I / d^'f , d^H\ ^,^ I / dm , dm\
m — 2 \ dXi dXi / n — 2\ dpi dyi J
Par exemple, si
on aura
Af^a^-ia^b;, ^'f==a^-^alb-, A'f^a^-^alb;, ...
Il est encore utile de remarquer que toutes les polaires d'une forme satisfont à l'équation différentielle
dxidyi dxidyx Soit, en effet, la /û""'* polaire
AY=aî?-*aJ.
On a
ensuite,
<i^Y ,x . . fc
dx2
dxidy
^J±L=k{n — k) ar-'-'al-'a,a, ; dxidyx
on voit que ces deux: valeurs sont identiques.
^49. Opération 12 { Omegaprocess). Étant donnée une forme f{xty X2, yi, Vi) à deux séries de variables du degré m par rapporta x et du degré n par rapport à y, l'opération Q. est délinie par
mn \dxxd
\d\j2 dxidt/i
par conséquent, elle a pour effet de diminuer d'une unité les degrés de f par rapport aux variables. En répétant la même opération, on aura
m — I n — I \dx\dy2 dx^dyx) et, ainsi de suite.
Soit la fonction
f=y\{a^x\ + 3«,^X + l(ir^xX\A;-a.x\) + 2y,y,Ka7; + ia!,x\x^ + i(i\x^x\ + a'.x^)
On a :
dx\dy-i M
dxidyi par suite,
W = 2/4 [K — «^i)^î + 2K — «^J^i^jj + (a; — a.)a?|) + 2/,[K - «;)^î + 2K - a',)x,x, + (a'^ - a'^Jx]]. Une seconde application donne aussi
^Y= K + «2 — 2a;)a?4 + K + ^3 — 2a;)x,. Soit, encore, une forme à deux séries de variables représentée symboliquement par
on aura
mn ^ ^
ou
On trouve également »
— ol5 — et, en général.
Il existe entre les opérations Q.f et Bf la relation
m-j- I En effet, il vient successivement :
(m-\-i){n — i) 7ildxidy2\ dyi dytj dxidyi\ dyt dy2j\
ou bien
ÛD/- =
[dyirf^a dxxdy\dy2 dxidyl ^ dx%dy\ dytdyt dxidyidyij
__L___L±( ^ ^ir)jL^,±(Ji ^)1
{m -\- i) n — i)ni dy\\dx{dy2 dx2dyij^ dyi\dxidyt dxzdytj \ c'est-à-dire,
Qj)f= ■ — : ( Xi --— mnQf 4- xs—— mnQf]
{m-\'i){n—i)n\dyi dyt J
m 1 / dQf , dQf\
= j (Xt- t-Xi-r— .
m-\-i n — i\ dyt dy^ /
Cette dernière expression est égale à ; — DO/".
On prouve de la même manière que = *
Abstraction faite d*un facteui* numérique, on peut intervertir l'ordre des opérations û, D et 0, A.
!S43. Opération d'Aronhold ou procédé ô. Étant données deux formes de même ordre
f = r^x^ -\- nr ^x^-^x^ + •••, F = «o^ï + ^^i^?"'^? H
et (p(ro, ri, r2, ...) un invariant de la première, l'opération d'Aronhold consiste dans la formule
^ . dr» dvi dr2
qui possède le caractère d'invariance. Si on applique l'opération au résultat obtenu, on aura (509) = ^'^ ; de même, ^(^'(p) sera (5*(p, et ainsi de suite. Cette opération se présente, lorsqu'il faut calculer la valeur de (p pour la fonction composée /*+ AF; on doit remplacer les coeflicients ro, ri, rz, ..., par r« -f- Aao, ri-[~^^ir '*2 + ^«2, ...; en développant ensuite par la formule de Taylor, il vient
(p(ro + ^ao, r, + Aai, •••) = (p{ro, r,, .••) -|- /(Î9 -] ô*(p -]
Par exemple, soient les formes quadratiques
f=rox] + 2r^x^x^ + r^x\, F = a^x] -|- 2a^x^x^ -\- a.^x\,
et 9 = r^r^ — r\ l'invariant de la première. En désignant par 9' sa valeur pour f ■\- AF, on aura
Or, on trouve successivement
5cp = a,rî — 2airi -|- air#, 5^9 = aoa2 — 2aî + «ja» = 2 (a»a» — aj) ;
par suite, il vient :
9' = ^o^a — ^î + (««^ — 2a,r , -(- a,ro) A + (a.^a^ — aj) X^.
Il est essentiel d'observer que, suivant l'esprit de la formule de Taylor, on passe de (Î9 à (5*9 en dérivant par rapport aux coefficients primitifs, même si «0» «1» «2 étaient les coefficients d'un covariant, c'est-à-dire des fonctions de «0, «!♦ «2; on doit, dans la seconde opération, regarder comme constants les coefficients introduits par la première.
Le procédé (5 s'applique aussi aux covariants. Considérons les deux cubiques
f=r^x\ + ir^x\x^ 4- ir^x,x\ + r^x\, F = cf.^x\ -\- icf.^x\x^ 4" 3«»^i^J + V\ î on sait que la première possède le covariant
H = (ror, — t\) x\ + {r^r^ — r,T^ x,x^ + {r.r^ — r\) x\.
Si l'on veut obtenir le covariant correspondant H' pour la fonction composée / -|- AF, il est nécessaire de substituer aux coefficients ro, ri, rs, ri les valeurs
ro + Àao, ri+^i^i» rj -f- Aa*, rj-f ^«s;
comme H est du second degré par rapport aux coefficients, on aura
En appliquant successivement le procédé 5, on trouve facilement $R = (r,ao — 2r^a, + r,a^) x\ + {r^a^ — r^a.^ — r^a, + r,a^)x^x^
Par la substitution de ces résultats, on obtiendra la valeur de H'.
Il importe maintenant d'indiquer l'effet de l'opération d'Aronhold sur un produit symbolique. Afin de fixer les idées, supposons que /"soit une forme du quatrième degré qui possède un invariant cp du troisième ordre. Représentons, pour un moment, la forme f par les expressions équivalentes
f=(i,x\^^a^x\x^-\ , f=b^x\-\-dfi^x\x^-\ , f=»c^x\-\ .
Par le procédé (î, on peut introduire les coefficients a, 6, c dans ^ de manière que cet invariant soit linéaire par rapport à «o, fi^i, .-.,&•» ^'i» «--r Co, Cl, .... Cela étant, on a
. ^ dm * dm , ^ d(p , * dm 0 art 0 dO'i 0 dOi « ad
Or, la première opération
* dm
0 aai a pour effet de remplacer les coefficients a par les coefficients a, et, au point de vue symbolique, de substituer au symbole a de /*, le symbole a de (p. On sait qu'en posant :
/ = < = ^l = ct. F = at, rinvariant cp est représenté par
(D = {ahy{acY(bcy.
Donc, après cette première opération, on aura (a6)' (ac)* (&c)*. De même,
pour les deux autres
* d© * dtp
0 dOi 0 dCi on devra remplacer les symboles b et c par a ; ce qui donne {aay {acy {(xc}\ (aby (aa)« (6a)» .
Puisque les symboles a, b, c sont équivalents, les trois résultats sont identiques et Ton a :
ioLi^ = 3{(xby(xcy{bcy.
0 ari
De là, cette règle : L'opération d appliquée à un produit symbolique revient à remplacer successivement chaque symbole de f par un symbole de (p et à faire ensuite la somme des résultats.
Les produits symétriques de symboles donnent chaque fois le même résultat; il suffit, dans ce cas, de multiplier l'un d'eux par A', A; étant le nombre de symboles.
Après cette première application, il ne reste plus que deux symboles; une seconde donnera
a«(p=2.3(a(3)»(ac)2(Pc)* et une troisième
(î'(p=2.3(a|3)M«7)MP7)»,
où (3 et y sont des symboles équivalents à a pour la seconde forme.
Le procédé d s'applique de la même manière aux co variants. Le Ilessien de la quartique étant
H = {aby albl, posons : «,■
H* = h;* ^ {aby albl.
On aura
^H == 2 (aH)* ain% dm = 2 (HH')' h|h;«.
La première opération introduii le symbole H au lieu de b; on passe de (5H à dm en regardant H comme constant, et en remplaçant le symbole a par H'.
La règle précédente suppose que les produits symboliques ne contiennent que des symboles de f. Dans le cas contraire, il faudrait la modifier. Pour la quartique, par exemple, le Jacobien de /" et de H est :
t = (aH) aim^
Or, les symboles H représentent les coefficients du covariant H qui sont des fonctions des coefficients de f; dans la dérivation, il faut tenir compte de cette circonstance et la règle se complique ; mais, généralement, on peut transformer le produit symbolique de manière qu'il ne renferme que des symboles de la forme primitive. Si l'on avait oH = o, on pourrait encore se servir de la première règle, puisque l'effet de l'opération sur H est nul.
16441. Opération U (Ueherschiehungsprocess). Étant données deux formes différentes
où n est plus petit que w, formons leur produit : a'^.hl.
Remplaçons maintenant deux facteurs ctx, h^ de chaque forme par le déterminant (aD); il viendra (a6) a™— ^6^~^
En répétant cette opération k fois, on arrive à l'expression
Cette formule fournit une série de covariants simultanés des deux formes en donnant à k îes valeurs i, 2, 3, ... n. Nous les appellerons composés de f avec 9, et nous adopterons la notation (/", 9)* pour représenter le /c""" composé. Par définition, on aura
{f,':pY = (abya^-^b^-\
Si on échange les formes, le composé change de signe lorsque/: est impair. Pour les composés extrêmes, il vient
(A 9)» = a^.^^2, (A cp)" == («^)" «r**
Enfin remarquons encore que le premier composé est le Jacobien des deux formes.
Soient/", et ©1 deux autres formes; pour trouver les composés de /"-f- ^i^ avec ç -\- ju^icpi, Ai et |ljii étant des constantes, on eff'ectue d'abord le produit :
(/"+ ^'lA) {^ + ."i?0 = /"? + ^'A? + f^'/"?' + ^••f^«/'«9«»
pour appliquer ensuite l'opération à chaque terme, et l'on a :
if+ H^^ ? + f^i?.)' = (A ^Y + ^'t (A' # + f^' (A ?0* + ><."' (A> ?•)*.
Les divers composés s'expriment aussi au moyen des dérivées des deux formes. On sait, par la valeur du Jacobien que
i / df d(p df d(D \ (ab) a^-^bl-' =—(t-'t^-t--t^)'
Pour le second composé, on a
{abf a^'^bl-^ = a^*b2-^ (a\bl - 2a^a, • b^b^ + «î^î)
c'est-à-dire
(ab)^ a^-^b^-^
^ fn{rrh^i)n{n-'i) ' \dôc\ ' rfxj ^ é/xi^Xj ' dxidXi ~^dx\ dx] )
— ÎJ20 —
Le second membre s'écrit, d'une manière abrégée, comme suit .
I /d£ d(p df dcp Y
m {m — i) n {n — i) \dxt dx2 rfxj dx\) '
En général, on a
df f/cp
df d(p m[m — i)-"[m — k-\- i) 7i{n — i)«'«(w — k-\- i)\dxi dxt dx
arfx,/.
Dans le développement, les exposants indiquent l'ordre des dérivées. Supposons que les symboles a et 6 soient équivalents etn = m; l'expression
(/•, /•)* = {abf a^-'bT' fournira les composés de la fonction f avec elle-même ; ceux qui correspondent aux valeurs impaires de k seront identiquement nuls, car le produit change de signe en permutant a et h; mais tous les autres, tels que
(a6)2 a^-26^-2, {aby a^-^b'^-^ (ab)^ a'^-^b*^^, etc.
seront des covariants de f dont le premier est le Hessien de la forme.
945. Il est important d'observer que les composés de deux formes s'obtiennent aussi par les polaires. On sait que la A**"** polaire de /"a pour expression
Remplaçons, dans cette formule, y^ par &2, 2/2 par — bt et multiplions par 6""*' i^ viendra (ah)'' a^~*?>^~*, c'est-à-dire le A:'^*"* composé de /"avec 9. Donc, pour former le A'^"** composé de f avec 9, 07i substitue, dans la A^"*' polaire de f, aux variables yx, y 2 les symboles &2, — bi de (p et on multiplie ensuite par t""**
En second lieu, on peut encore procéder de la manière suivante. On a
En multipliant ces polaires, il vient a!?~*6"~*aJ6J.
Si on applique à ce produit A fois le procédé F en opérant sur les facteurs en y, on arrive à l'expression (ab)''a^~^b'x'~^; c'est encore le A'*"** composé de f avec 9.
Appliquons ces règles à quelques exemples. La cubique
f=al==bl = cl possède l'invariant
cherchons les composés de f avec H. On a
f . H = {ab)'^axhx . cl.
En séparant les facteurs bxCx pour les remplacer par (6c), il vient, pour
le premier composé,
(f, uy ^ ^abf ^hc) axcl.
C'est le covariant du troisième degré de cette forme. En séparant les facteurs axCx au lieu de bxCx, on arrive à une expression équivalente. Le second composé sera
(/, H)2 = [aby (bc) (ac)cx.
Autrement; formons la première polaire de H; on trouve
I (ab)^ (axby + aybx),
mais, comme les symboles sont équivalents, elle se réduit à (a6)* axby. Si on remplace yi par C2 et 2/2 par — Ci et si on multiplie par c|, il vient
(/•, H)» = (a6)«(6c)aa:C^ La seconde polaire étant {aby ayby, la même substitution et la multiplication par Cx fournit le second composé
(/•, H)* = (a&)» (ac) [bc) Cx.
Cherchons encore les composés de H avec lui-même. On a H = {abyaxbx = {cdycxdxj c et d élant des symboles équivalents à a et b. Il faut d'abord former le produit (abfaxbx . {cdfcxdx.
On prend ensuite un facteur de chaque côté, par exemple, bx et dx et on remplace leur produit par {bd); il vient ainsi
(H, H)' = {aby (cdy (bd) axCx.
On en tire, pour le second composé,
(H, H)2 = (tt6)2 (cd)» (6d) (ac)
qui représente l'invariant du quatrième degré de la cubique. Pour faire la séparation de deux facteurs, on pourrait adopter les combinaisons axCxf axdx^ bgCx, mais on arrive toujours à une formule ayant même signification, à cause de l'identité des symboles.
On trouve le même résultat, en faisant le produit {abYaxby . (cdycxdy des premières polaires de H, et en séparant bydy; ce qui donne
(/•, H)' = (abf (cd)« {bd) a,c..
De même, le produit des secondes polaires (ahyayhy . {cdycydy conduit au
second composé
{]i.ny = {ahy[cd^bd){ac)
en lui appliquant deux fois le procédé F.
Cette manière de former les composés par les polaires est très importante. Nous aurons l'occasion d'en faire de nombreuses applications.
246. Identités du calcul symbolique. Il existe quelques relations identiques qui sont très utiles pour la transformation des produits symboliques et qu'il est indispensable de connaître. D'abord les égalités
ttx = CLiOCi -\- aiX2f bx = biXi -\- b2X2y
Cx= CiXt +C2X2,
par l'élimination des variables, conduisent à l'identité
flx
ftx
bi
ou bien,
(i ) (bc) «x + {ca) bx + (ab) Cx = o.
qu'on peut aussi écrire
(ab) Cx — (ac) bx = (cb) ax.
En élevant au carré, on trouve
[aby Cx -f- {(^(^y bl — 2 (ab) (ac) h^-Cx = (bcy al; d'où
(2) [ab) (ac) b^cx = i [(aby c\ + (acybl — (6c)= a*].
Si on élève de nouveau au carré et si on transpose, il vient aussi
(3) (aby (acy bld + (bay (bcy ald + (cay (cby albl ■
= i [^x {bcy + bi (cay -{-ci(aby].
Posons, dans l'identité (i), C2 = 2/1 et Ci = — 7/2', on aura
(4) axby — ayb-r = (ab) (xy).
Enfin, d\ et dt étant les coefficients d'une quatrième forme linéaire, en remplaçant dans (i) et (2) X|,a:2 par do et — di, on trouve encore
(5) (bc) (ad) + {ca) (bd) + [ab) {cd) = o.
(6) (ab) (ac) (db) (de) = \ [(aby (cdy + (acy (bdy — (ady (bcy^.
En vertu de la première identité, toute formule qui renferme un déterminant (ab) à une puissance impaire peut être transformée en une autre où ce déterminant est élevé à une puissance paire. En effet, supposons qu'elle renferme le produit
II est égal à
— (ab)»"»-' (ca)6xcî"»-'; en permutant a et 6, il devient
{aby""-^ (cb)axcl"'-'^; par suite, en faisant la somme et en divisant par 2, on trouve [ab)*"^-^ (ac) 6^c|"»-^ == \ («6)"»-^ c|'"-^ [{cb) a^ — (ca) ba] = \ {aby^ cl«.
b ZA^ . Expression du carré du déterminant fonctionnel. Comme application de ces identités, proposons-nous de former le carré du Jacobien des deux formes
On a
J = (aa) a^-^a--' = (6^3) 6«-^|3rS et
J« = (aa) a^-'al-^. (6(3) è^-^fe-^ = (ax) ft^-^a^-^b^-^jS"- (b|3) a,.
Or, par la première identité, on a
(6|3)ax = (a/3)6, — (ab)P.; par suite,
P = (aoc) (a/3) a?-^6X'"^,^x~' — («a) («^) «x'^^^"' «x"*Hx- Si on remarque que f=b'^, cp = (3;, l'expression précédente est de la forme
J2 = A/"-f'B(p où
A == (aa) (a|3) a^"^ a:^-^ (3r^ B "= (^^) i^^) a^r'' b^" ^x"'- Il faut calculer les valeurs de A et B. On peut écrire
A = ^ (a(3) a^-' jSr^ aT-' [(»^) Px — (a?) «x], car le second terme se déduit du premier en permutant les symboles identiques a et (3. A cause de l'identité (i), la différence entre crochets est égale
par suite,
c'est-à-dire
((p, (p)' étant le second composé de (p avec lui-même. D'un autre côté, si on écrit
B = a--» 6^-» «r^ {aoL) (6a) a,h, par l'usage de l'identité (2), il viendra
B = «--* 6--=» ar" • î [(«a)' ?^x + (^a)' al — (a6)« aj].
Les deux premiers termes ont la même signification; on passe de l'un à l'autre en permutant a et 6; par suite, on a :
B = (aa)* a;'—» a^-^ • 6? — ^ («6)* a^-a 5^-^ . (x^, ou bien
En remplaçant A et B par leurs valeurs, on arrive à la formule définitive
J* = - î [(9, 9)' r - 2(A 9)=^ /■? + (A 0* fl
De là, cette proposition importante :
Le earré du Jacohien de deux formes est une fonction de ces formes et de leurs seconds composés .
