Considérons encore trois formes différentes
/■=«?, 9 = ^2. 4^ = cP.
Le premier composé de f avec (p a pour expression
(/•, cp)' =:(«&) a--^6r^ Combinons cette nouvelle formation avec ^ pour former leur Jacobien. Dans ce but, il est nécessaire de calculer la première polaire de cette expression. On trouve
^ [(77* - I) a^-^a,hr-' 4- (7j I ) a^-%hl-A •
On obtiendra maintenant le premier composé de (/", cp)' avec ij;, en remplaçant t/i, 7/2 par c», — Cl et en multipliant par cP"~^. En le désignant par ;, nous aurons
/ = [(m — i) (ab) (ac) a^^-^bl-^cl-^
-]- (n — i) {ab) (bc) aT-'b^-'cP-'],
j ^ i__f ^ [(^;j i^ (^ab) (ac) Mx — (n — i){ba) {bc) a^e^].
D'après l'identité (2), la quantité entre parenthèses est égale à
[{abycl + (acybl-{bcya:]
[(bayd + ibcYal-iacybl].
Si on multiplie cette expression par le facteur extérieur de / et si on pose: (/•, cp)« = (abya^-^br^, (/", ^y = (ac)'a--«cr^ (9, ^y = {bcyb---^cT'\ il viendra
[(f.fY'^+i'fÂyf-if.'^yf]-
2{m -\-n — 2) En faisant les réductions, on trouve
Comme cas particuliers, si on pose 4' = A ^^ vient
et, si on pose ^|> = (p, on a encore
Ces formules sont très remarquables; elles démontrent cette propriété : Le Jacobien d'une forme avec le Jacobien de deux autres est une (onction des trois formes et de leurs seconds composés .
FORMULE DE ClEBSCH-GoRDAN. FORMATION SYSTÉMATIQUE DES INVARIANTS
ET DES COVARIANTS.
949. Considérons une forme à deux séries de variables, du degré m par rapport à Xi, x^ et du degré n par rapport à 2/1, 3/1; elle est représentée symboliquement par f z^ry^.
Par l'applicalion successive dos opérations D et A, il vient :
AD/" = — ; — Imr^-'ryS'^-'Ss + rW] ; m -f- î * "
d^où
(m + i) AD/'= r^5j + nir^~''ryS'^'s^.
On a aussi
(w -1- i) /•= o; + mo;.
En retranchant de cette équation la précédente, on trouve
(w + i) if-^ADf) = wr^-'5j-^ (rx^y — rySa:)y et, à cause de l'identité (4),
(w -f- I ) (/" — ADf} = m {xy) {rs) r^^s'^-^. Si on remarque que
il vient la relation fondamentale
fn
W f=àT)f-] -j-(xy)Qf.
Supposons que f soit linéaire par rapport à y ; on aura
f = 7--Sy, Df = r-5x, il/- = {rs) r?-^ ;
r^sy = A (Ox) H i — {xy) {rs) r^-\
et, comme cas particuliers,
r^Sy == A(rx5x) + î(^2/) (rs)j rlsy = A(r|sx) + l{xy){rs) rx ;
ainsi de suite. La fonction f est donc égale, dans ce cas, à la première
polaire d'une fonction de x plus un terme renfermant le déterminant {xy).
Remplaçons dans {k) f par D/" qui est du degré m -\- i relativement à
X\ et xt. On aura
D/"= ADY-f^^^(a;2/)i2D/';
par suite
AD/- = A^D Y-4 4^ A [{xy) ÛD/-].
Or, en désignant par (p une fonction du degré ^ en a?, il vient
Ar/ \^ ? r ^(^y), C?M1 , (^^) r. <^? 1 .. ^^1
La première parenthèse équivaut à y, 2/2 — yz^/i = o; la seconde est égale à |u.Acp; donc,
L ^ [{^y) ?] = — TT (^^) ^^'
et comme conséquence
^ A{,(œy)QDf] =^^ (xj^jAÛD/-.
En substituant cette valeur, on trouve
M)f= A^DY-I j— to) AÛD/-.
D'un autre côté, si on remplace dans (k) f par 0/", il vient
«î ^— I û/- = ADÛ/- -1 {xy) ily.
En vertu de ces deux égalités, l'expression de f prend la forme
Les deux termes du milieu peuvent se réunir par la relation
/yyi QDf=: r—BÙf,
m-\- 1 et on obtient alors la formule
(A.) /-^A'DY-I —(œy)M)Qf-\ —{xyy9Jf.
Posons
on aura
D Y = r>|, û/" = {rs) r'^-'Syy DO/" = (rs) C'^^x, û Y = W' r;?-*. Avec ces valeurs, il vient la formule
r^sl = A^(OÎ) -I ^ (a?y) (rs) A (r^-^5.) + ^^^ (xy)»(r5)»r--«.
et, comme cas particuliers,
rlsl == A' (rlsl) -\-{xy) (rs) A (r.5,) + J (a?y)2 (r^)», ri^;^ = A^ (rl4) + f (Jcy) (rs) A (rl^x) + i (xy)- (rs)' rx, r*5j = A^ (r*5J) + 1 {xy) (rs) A (r^Sx! + f (xy)' (rs)^ ri .
Donc, lorsque la fonction f est du second degré en y y elle est égale à une expression renfermant les polaires A*, A' et A" de certaines fonctions de x ainsi que les puissances o, i, 2 de {xy).
Appliquons encore Téquation fondamentale aux fonctions
