i^. ^ . !:^=I(^,),AODOr+ '^ixyyAm^f+^!^ (xyyQ^f

Il faut remarquer que

iiOy = QD (D/) = ^ DÛD/ = ^ . ^^ D'û/.

ÛD(û/) = iDi2V.

En tenant compte de ces valeurs, l'expression de f devient après les réductions

m + I Posons /" = r^5y; on aura successivement

et la formule devient :

Pour les valeurs particulières m = 3, 4, 5, on trouve rl^J = A^irlsD + lixy) (rs) A'irisl) + ^(xyY{rs)* A{r,Sa:) -{- i (xyY {rsY , r'^sl = A3(r^5^) + ^{œy)(rs)A'{rls'^) + i{xyY {rsY A{rlsa;) + l{xyY{rsYrx, rlsl = A\rlsl) + ¥(^2/)(r5) AHr*4)+if (a?y)»(r5)2A(r^5.)+i(^y)'(^^)'^'• Donc, toute fonction à deux séries de variables du troisième degré par rapport à y est égale à une expression qui renferme les puissances o, 1,2.3 de (xy) ainsi que les polaires A', A^, A', A" de certaines fonctions de x.

En continuant ainsi de proche en proche, on arrivera nécessairement pour une fonction du degré n en yk un développement de la forme

/= A^D"/ + ai") (xy) A'»-D'-«0/+ aj') (xyY A«-*D"-*ÛY + «(3») {xyY A''-^D»-^ù^f -\ )- «S,») {xyY O*»/.

Ce développement renferme les diverses polaires de certaines fonctions de x ainsi que les puissances croissantes du déterminant (xy). C'est la formule de Clebsch-Gordan ; elle est très remarquable au point de vue de l'analyse et d'une importance capitale dans la méthode symbolique. Ces géomètres en ont

donné une démoastration rigoureuse avec la loi de formation des coefficient qui est :

al"^

où la notation ( - ) représente l'expression