I . 2 . 3 ... À Par exemple, pour « = 4, on trouve
ai = ; — ) a» =
4(fw — i) , w — 2) m — 3 «5=- j — j -» a« = j — »
et la formule précédente se réduit à
(fW -[- 2) (fTl -j- I ) W -f- I
Si /■= Tx^J, on a
ri*; = A* (r]5]) + 2(X2/) (rs) A^ (rî^l) + ^(^1/)' (r^)' A» (rl^]) + -; (j?y)^ \Tsf A (rx5x) + i {xyy {rsf ,
et pour /■= r\s\, il vient
+ f (^y)' (r5)^ A (rl5x) + i (xy/ (rs)» r.. 950. Cette formule étant connue, considérons un covariant
P = [ahf {acy {bcy . . . a^bM ... m
du degré m relativement aux coefficients d'une forme f représentée symboliquement par ,j^
Supposons que a entre v fois dans les déterminants facteurs; alors a = 71 — V. Remplaçons a», a» par y-:, — 2/1 : le facteur a^ deviendra ^ary)"; aissons cette puissance, et appelons Ô l'expression restante. La fonction 9 ne
sera plus que du degré m — i relativement aux coefficients; elle renfermera la variable y au degré v, puisqu'un facteur tel que {ah) devient 6y après la substitution; soit ^ son degré par rapport à x. Conformément à la formule précédente, on peut écrire
e = A"D^9 + (3, (xy) Av-iD^-ïi20 + ^^ (xyY ^''-^l>•^-^^^b + • • •
Les fonctions
D^ô, D^-i09, Dv-2i2»0, ...
contiennent respectivement x aux degrés
Z^ + y, fx + v — 2, /^-f-1/ — 4, ....
On peut poser
Par la formation polaire, il viendra
En substituant ces valeurs, on trouve
Pour transformer P en G on a négligé le facteur (xyY où a = n — v. Si, maintenant, on veut repasser de G à P, il faut remplacer yi, 1/2 par — 0'2^ -j- û^i et multiplier para;j~^. La formation invariante P prend alors la forme
ou bien,
p = if- pY + (3. ( a î)'-' + M- rY-' + --
La formule symbolique P se trouve ainsi ramenée à une expression qui renferme uniquement des composés de /"avec les covariants;), q, r... du degré m — I par rapport aux coefTicients. Donc, une formation invariante V de f, du degré m par rapport aux coefjicAentSy peut s'obtenir par les composés de cette forme avec les covariants qui sont seulement du degré m — i relativement aux coefficients.
Le composé de l'ordre le plus élevé est v ou le nombre de fois que le symbole a se trouve dans les déterminants facteurs.
Il en résulte qu'étant donnée une forme :
pour trouver ses invariants et ses covariants, on commence par déterminer les composés de la fonction /"avec elle-même; ils sont renfermes dans la formule générale {ab}'' a^~''b'^~'' et du second degré par rapport aux coefficients; il n'y a pas de covariants du premier degré relativement aux coefficients, si ce n'est la forme elle-même. Désignons par Ai, A2, Af, A4, ... les formations ainsi obtenues. Pour s'élever aux fonctions invariantes du troisième degré relativement aux coefficients, il faut déterminer les composés de /"avec A|, A2, Ag, ...; ce qui conduit à la nouvelle série
f. Al, /. Aa, /. As, (AAOS (AAOS (/,A,)% ...
On cherchera de nouveau les composés de /' avec ces dernières formations, et ainsi de suite. Parmi les invariants et les covariants que l'on obtient de cette manière, on laisse ceux qui sont indentiquement nuls; il y aura ensuite à distinguer les formations fondamentales ou indépendantes qui doivent constituer le système complet de la forme. Il n'y a pas de méthode générale à ce sujet; il faut, dans chaque cas, par des transformations de produits symboliques et l'application des principes que nous avons exposés, démontrer que le système admis est complet. Nous allons maintenant employer la méthode symbolique pour étudier les formes binaires des quatre premiers degrés.
