FORMES DU SECOND DEGRÉ

951. La forme quadratique binaire est définie symboliquement par

f=al = h'I.

Les composés de cette fonction avec elle-même sont :

{ab)axhx^ {àbY.

La première expression change de signe en permutant a et b; elle ne donne rien; la deuxième représente l'invariant du second degré de/; désignons-le

par D. On aura

Il n'y a pas d'autre formation à considérer. En effet, un invariant ou un covariant P de /qui renferme un déterminant tel que (ah) à une puissance impaire peut être transformé de manière que cette puissance devienne paire. La formation P renfermera donc l'invariant D accompagné d'un facteur qui ne contient plus de déterminant du type (ab)\ ce qui ne peut être que / ou une puissance de /.

Considérons, en second lieu, le système de deux quadratiques

/=aî = fei, (p = AÎ = /l.

En appelant Du, D22 leur invariant, on a

Dm ={ab)\ T)2î = {kiy.

Le premier composé de /" et de cp fournit un covariant simultané du second degré que nous représenterons par 0; c'est :

0 = (/", 9)' = (akia^ikx = {hl)bxlx»

Le second composé est l'invariant : Du = [ak)^ = (bl)^.

En vertu d'une propriété démontrée (N" 248), la combinaison de 0 avec f et cp ne peut donner une formation nouvelle. Il existe entre les fonctions invariantes du système une relation qui s'obtient par la formule du carré du déterminant fonctionnel (N" 247). On trouve

Posons symboliquement

B = ei = 0'J = {ak)axka: = {bljbxh.

En remplaçant dans Q'J les variables a?i, X2, par 02, et — 0i, il vient

{eQy = (ak){Qa){(jk);

c'est l'invariant du covariant 0. Or, d'après la formule de Clebsch-Gordan on a

{bl} bjy = A [[bl)bJx] + ^(œy) (6/)'.

Le premier terme du second membre est la première polaire de 0, c'est-à-dire, OxQy tandis que (&/)' est D,2. Il vient donc

QxOy^ {bl)bjy — ^[xy)J)i2.

Remplaçons les x par «a, — ai et les y par ki. — kt . pour multiplier ensuite par (ak); on aura

{ak) (0a) {Gk) = {bl) {ba) (Ik) (ak) — ^DJ^.

Mais,

{bl) {ba) {Ik) (ak) = \{ab) {kl) [{ak) {bl) — {bk) {al)] = i(a6)2(/^/j« = |DuD22; par suite, il vient la relation

(ee'r = i(D,,D„-Dî,).

Supposons que les deux formes données possèdent un facteur linéaire commun; dans ce cas, leur Jacobien renferme ce facteur au carré (N** 230),

c'est-h-dire que 9 est un carré parfait; par suite, son discriminant est nul, et Ton a :

Dans la même hypothèse, le résultant R de /"et de ® est égal à zéro; comme il est du second degré par rapport aux coefficients des formes, il doit être égal, à un facteur numérique près, au premier membre de la relation précédente.

Dans le cas où 9 n'est pas un carré, on ramène /* et cp à leur forme

canonique de la manière suivante. Exprimons que la fonction composée

f -\- Açp est un carré parfait en égalant le second composé de cette forme à

zéro; il vient

(/'+>^?» /+>■?)' = o, ou

c'est-à-dire,

Du + 2/D,2 4- A«D.22 = o.

Cette équation admet deux racines différenles A,, /j puisque DiiD22 — Dj^ n'est pas égal à zéro. Posons

iHx et Tix étant deux formes linéaires. En résolvant ces égalités par rapport / et cp, il vient :

Aj A| Aj Ai

cp = - Y^l — -. Y^-'

/>l A2 Ai Aj

Soit encore le système de trois formes quadratiques

f = al = bl a. = kl = ll ^ = 7'l^sl

Les seconds composés de ces formes combinées deux à deux ainsi que leurs invariants prises isolément sont :

D,2 = (flA:)% D,B = (<ir)*, D,5 = (Ar)», Du = {ab)\ D,2 = [klf, D35 = {rs)\

Ensuite, il y aura trois covariants du second degré savoir :

0, = (ak)ajckx, 02 = (or)axrx, Gi = (kr)k.rrx. 11 est inutile de considérer les premiers composés de /, <p, ^ avec ces ©variants (]N° 248); mais le second composé de l'un d'eux, de 61, par

exemple, avec la troisième forme ^j/ fournit encore un invariant simultané. La seconde polaire de 0| étant

(ak) ayky,

remplaçons 3/1, 7/2 par rj et — r,, et appelons Dui la formation correspondante ; on aura

Di26 = (ak) {ar){kr).

Cet invariant est du premier degré relativement aux coefficients des trois formes. Si l'on pose

rinvariant D126 est représenté par

70 yi

En effet, remplaçons les coefficients par les produits symboliques correspondants; ce déterminant deviendra :

li .Km

= — a]klr]

«2 /^a\* ai \aij

kj /^Y

ki \kj n \r,/ di kj\a, rj\k, rj ^ >^ ^^ '

Si l'on considère en même temps plus de trois formes quadratiques, le nombre des invariants et des covariants augmente, mais ils ne sont pas différents de ceux qui précèdent.