R = (HH

fournit l'invariant de f. On peut l'exprimer au moyen des symboles de la cubique. Si on substitue dans

h;* = {abyaxbx

aux X les symboles H, on trouve

(\m'y = {aby [oE) (6H).

D'un autre côté, la première polaire de

étant

HxHy = {cdycxdy

en remplaçant les x par les a, les y par les 6, il vient

(aH) (6H) = {cdy (ac) {bd) ; par suite,

(aby (aH) (&H) = {aby {cdy (ac) {bd) ; donc,

R=:(a6)2(cd)2(ac)(6rf).

On voit que cet invariant est du quatrième degré.

Le premier composé de / avec H est représenté par

Q = (cH)c*H«

ou bien, en le tirant du produit

/. H = c^ (a6)'ax&x, Q = {aby {ch)a^cl.

Les formations

f=al, R = {ab)*aJ):r,

R = {mvy = (ah)^ (rtH) (hm = (aby- {cdY (ac) (bd),

Q = (cIl)clHx = (aby {cb)a^cl

constituent le système complet de la cubique. Il existe entre elles une relation qui s'obtient en appliquant à Q la formule du carré du Jacobien. On a (N* 247)

Q' = - K(A ff^' - 2(/, H)^ /H + (H, H)V>]. Or,

(/, H)' = (cH)=Cx = {aby {cb) {ac)c^.

En permutant les symboles, cette dernière expression devient encore

(cby (ab) (ca) a^ (acy (ba) {cb) bx ; par suite

(/, ny = — i(a&) (ac) (bc) [{ab)c. + {bc)ax + {ca)bx'] = o, en vertu de l'identité (i). On a donc

!653. Nous allons vérifier qu'en combinant les formes du système entre jlles, on ne rencontre aucun covariant distinct de ceux qui précèdent. On peut laisser les composés de / avec H qui sont connus. Cherchons les composés de / avec Q, de H avec Q et de Q avec lui-même.

a) Composés de f avec Q. D'après la formule du numéro 248, on a