A II)']' = -!(/,/)' H H "" ' (/. H

c'est-à-dire,

(A Q)' = - iH^

à cause de (/", H)' = o.

On peut d'ailleurs calculer directement ce composé de la manière suivante. La première polaire de Q = QJ a pour expression

QlQy = H(cH)c|Hy + 2 (cH)c.H,cJ. Or,

(cHjc^lIy = A[(cH)clH.] -i-^ixy) (cH)>Cx;

comme (cH)'Cx = o, il vient

(cH j clEy = l[cR)clHy + 2 (cn)CxH,c,] ; par suite,

(cH)cjHj,= (cH)c.H,Cy

et on peut prendre pour la première polaire de Q

QlQy = (cH) c|Hy = (cH) CxIUcy.

Remplaçons les 1/ par les b et multiplions par &'; il vient

(6Q)Ql^l = (cH)(6c)CxH.6«.

Si on permute 6 et c, on aura

(/, QY = i(6c)c.Ha:&4(cH)6. — (6H)Cx] = — ^(&c)»6xCxH| = - |-H^ Afin de calculer (/", Q)^, substituons dans la formule

QlQy=(cH)c^H„ aux a; les symboles b et multiplions par 6^; on. trouve

(Q&^2Q,b, = (c6j*(cH)6,H,.

De même, dans l'égalité,

HxHy = {ab)'-axby

remplaçons les x par H,, — H'^ et multiplions par Hj,; on aura

(HH^H^h; = [aby (aH')6yH; = [cbf {cR)byUy; donc,

(A Q)' = ;Q&)*Qv^ = (hh')h,h; ^ o,

puisque le premier composé de H avec lui-même est nul. Le troisième composé (/*, Q)' se déduit de l'expression

Ql = (cH)clHx

en remplaçant les x par les 6; il vient

(6Q)3 = (cH) (c&)=' (6H) = (a6)» (aH) (ftH^, c'est-à-dire,

6) Composés de H ai^ec Q. Dans la formule

QlQy = (cH)clH„

substituons '^ yx.y- les symboles — HJ, h; et multiplions par H, ; on trouve

(H'Q)Q|H; = (cH)(H'H)c]H;=i(H'H)cU(cH)n; — (cH')Hx] = K™Tc^

par suite,

(H,Q)'=iR/.

Dans la même formule, remplaçons les x par les symboles H'; on aura

WHO«Qv = (cH)(cH'rH,.

Le premier membre est (H.Q)'; le second contient (cil')'; or, un produit symbolique qui renferme (cH')' provient d'un composé du covariant (cH')*c« qui est nul avec d'autres formes; par suite,

(H, QY = o.

c) Composés de Q avec lui-même. La forme Q étant du troisième degré le premier et le troisième composé sont nuls; il sulTit de calculer {QyQY. Dans ce but, remplaçons dans la formule

QlQy = (clI)c«H,

les X par les symboles Q' et multiplions par Qy ; il viendra

{QQ'yQyQ'y = (cH) KV)'H,q; = (aH) {aQ^R^Qy; mais,

[aQ^a^Qy = A [{aQya.Q.] + { {aQY (xy).

Le produit entre crochets représente (/",Q)' qui est égal à zéro, de sorte qu'en remplaçant les x par H2, — Hi et en multipliant par Hy, on aura

{a(^Y («H)Q,Hy = l(flQ)« . HJ = IRH.

Ainsi, d'après l'égalité ci-dessus, il vient