Soit F(ac) une fonction entière de degré m, et posons

Fj(a?) =IV') — A'(.r — X)F'(ay);

deux racines consécutives de FOv) — 0 comprennent un nombre impair de racines de F4(ac) = 0 (on suppose F(X) ^ Oj.

La suite formée par — oo, les racines de x — XjF^a: i et • | - oo peut servir à séparer les racines de F(x). (Warixg).

En effet : 1° Si a est p fois racine de F(x) 0, il est (/> — 1) fois racine de Fi(at)=0. 2° Si h est un nombre positif assez petit, le produit F(a - Ir,Vv;i—li i a le signe de A*(a — }j, et F(a -|-/i)Fj(«q -f-/i) a le signe contraire. Donc, « et b désignant deux racines consécutives de F(x) = 0, F(a -j- A) et F^ô — // ont le même signe, et le produit Fl(a+A)F1(6 — h) a le signe de —(a—). (6— À . Par conséquent, si a < b < A ou >. < a < 6, <•* et /) comprennent un nombre impair de racines de F1(ac) = 0I et si a < À < b, a et i comprennent un nombre pair de racines de F^x) — 0 on un nombre impair de racines de l'équation (x — X)Fx(*) =0, etc.

Remarque. — Si l'équation F(a?J 0 a p racines réelles, l'équation F1(a?)=0 en a au moins (jo — 2): elle en a au moins ;j lorsque À n'est pas compris

entre la plus petite et la plus grande racine de F(x) =0 et que h -p- , car

les équations F(xj = 0, F^a? - 0 étant de même degré, les nombres de leurs racines réelles sont de même parité Réciproquement, si l'équation I'Y'\ 0 a q racines réelles, l'équation F(x) — 0 en a, au plus, q ■ j- 2

9. Soient f\x) le quotient et f(x) le reste de la division de F(x) par F'(x) Les racines de F!(x) = 0 séparent celles de r-?txj = 0, et les racines de l'équation f(x)o(x) = 0 séparent celles de F{x) = 0 (*).

Pour toute racine a de F'(x) — 0, on a F(a) -f'(a), et si F'ta?) est divisible par (a? — a)P et que F(a) = 0, F(x) et a>(a?) sont divisibles par (# — <•/ ip. Pour la seconde partie du théorème, on applique l'exercice 8 à F(x) — f\x)F' x).