Si l'on multiplie les coefficients d'une équation
F(œ) = A0x™ + A,**-' |- ... i - Am = 0
par les termes correspondants d'une progression arithmétique, l'équation nouvelle a au moins une racine entre deux racines consécutives de F(#)=0, excepté entre la plus petite racine positive et la racine négative qui précède.
Soient c — mb, c — [m — 1 b, ..., c la progression. L'équation nouvelle est 1 '']!.<■ cF(x) — bxF\x) = 0. Appliquer l'exercice 8.
(*) Nous disons ici que des nombres ranges par ordre croissant séparent les racines d'une équation donnée lorsque deux termes consécutifs de la suite comprennent une seule racine ou n'en comprennent aucune,
Corollaire. — Si F(# ;i /> racines positives, // racines négatives, V varialions, et que/),, n,, Y, sont les mêmes nombres relatifs à 1', a?), on a
}>x ■ p, », • », on />, ' p — 1, », > n — 1,
su
ivaul que les termes de la progression c — //</>, c —(m- -1)6 . , c sont ions de même signe ou qu'il y en a de positifs et de négatifs.
Car chacun des intervalles formés par les racines positives de I' ■< comprend au moins une racine de l\(.v , d'où/), ^ /> — !.. Dans le 1er caH) V V,; V — /> et V, — /), étant des nombres pairs,/), — p est pair, et l'on a /*, p Dans le 2d cas, V et V, sont de parités différentes, etc.
