CHAPITRE XI
THEOREME DE TCOLLE.
193. Lemme. — Lorsque x variant dune manière continue de — oo à \- oo passe par une racine de l'équation F(x) = 0, le
rapport passe du négatif au positif .
Soit a une racine, p son degré de multiplicité; nous aurons
F(x) (.r-a)^(.r), F' (ce) = p{x — a)P-iç(^) | (x — a)P»'(ar>,
o(x) étant un polynôme qui ne s'annule pas pour x a. Par
suite,
Si /? désigne une quantité positive suffisamment petite pour
(pie l'équation ©(#) = 0 n'ait pas de racine dans l'intervalle
co'fa ± /i) ,., (a — a, a a), le quotient ' . |N a une valeur finie, tandis
1 cp(a ± a) -
que la fraction a une valeur infiniment grande. On en conclut :
194. Corollaire. — Si a'est /; fois racine de ¥\x) 0, la suite
F(a?)5 F'(x), F"(x), ..., FCp-«(o?), F(P)(a?). (1)
n'a que des variations pour x —[a — h et que des permanences pour x — ci -f- /?, pourvu que h soit positif et suffisament petit. En effet, a étant racine des équations
deux ternies consécutifs de la suite^(l) ont des signes contraires pour x = a — /* et le môme signe pour x -— a -f- /*•
195. Définitions. — Deux racines réelles, a, b d'une équation sont dites consécutives, quand elles ne comprennent aucune autre racine.
On dit que deux nombres réels a, 3 séparent une racine de l'équation F(x) = 0, quand ils comprennent une racine et une seule.
Pour déterminer les racinesincommensurables d'une équation, il importe de savoir séparer les~différentes*raeines, c'està-dire de trouver deux nombres comprenant une racine et une seule. Le théorème de Rolle peut, dans certains cas, servir à résoudre ce problème.
196. Théorème de Rolle. — 1° Deux racines consécutives dune équation F(x) = 0 comprennent un nombre impair de racines réelles de l'équation dérivée F'fxj = 0.
2° Deux racines consécutives de l'équation dérivée comprennent au plus une racine réelle de la proposée.
3° L'équation F(x) = Oa, au plus, une racine réelle plus grande que lapins grande racine réelle de F'(x) =- 0 et, au plus, une racine réelle plus petite que la plus petite racine de F'(x) = 0.
1° Soient a et b (a < b) deux racines réelles consécutives de F(#) = o, et soit h un nombre positif aussi petit qu'on veut. D'après le lemme démontré ci-dessus,
Or F (a + h) et F (b — h) ont le même signe; autrement, les nombres a -j- h, b — h comprendraient au moins une racine de ¥(x) — 0 (127), ce qui est contraire à l'hypothèse. Il en résulte que F'(a 4- h) et F'[b — h) sont de signes contraires; par conséquent l'équation F'(x) = 0 a un nombre impair de racines comprises entre a + n et D — n ou> ce (llu revient au même, entre a et b.
2° Soient a, (3 (a < t3) deux racines réelles consécutives de F'(ac) — 0. Si elles comprenaient plusieurs racines a, b, ..., (a < />, ...) de F(a:) = 0, l'équation F'(x) = 0 aurait au moins une racine a' comprise entre a et b, etc.; a' étant compris entre a et p, les racines a, 3 ne seraient pas consécutives.
3° Si l'équation F(x) 0 avait plusieurs racines a, b, ... (a < b ...) plus grandes que la plus grande racine X de F'(x) = 0, les nombres a, b comprendraient au moins une racine À' de F'{x) = 0, ce qui implique contradiction, /' étant plus grand que À.
Raisonnement analogue pour la plus petite racine de F'(x) = 0.
197. Théorème. — Les racines réelles de l'équation dérivée F'(x) = 0 peuvent servir à séparer les racines réelles de l'équation primitive F(x) = 0.
Soient an 6n cu ..., /x les racines réelles, supposées distinctes, et rangées par ordre croissant, de F'(.y) = 0, et considérons la suite
— oo, alt bx, clt ..., llt-\-oo. (2)
D'après le théorème précédent, deux termes consécutifs de cette suite comprennent, au plus, une racine de F(x)t— 0. Substituons les nombres (2) à x dans F(x) et considérons les signes des quantités
F(-oo), 1^), F&), F(Cl), ..., F&), F(oo). (3)
Les variations de cette suite de signes l'ont connaître les intervalles de la suite (2) qui comprennent une racine de l'équation F(x) = 0 et une seule. Par exemple, suivant que F(al) et FffcJ sont de même signe ou de signes contraires, l'équation F(.v) 0 n'a pas de racine comprise entre a, et bl ou en a une seule appartenant à l'intervalle (al5 bx).
Si l'un des nombres an b^ ..., par exemple bx annule F(x), b{ est une fois de plus racine de F(x) que de F\x) (183). Pour voir si les intervalles falf bY), (blf cj comprennent une racine de F(x), on compare les signes de F(a1) et F(bx — h), et ceux de F^ + h) et F(Cj), h désignant une quantité positive très petite* (*). On ne peut avoir à la fois F(aj) == 0, F(6j) = 0; car la dérivée F\x) aurait alors une racine comprise entre aY et bl} ce qui est contraire à l'hypothèse.
Application. — Séparer les racines de l'équation
D'après le théorème de Descartes, il y a une ou trois racines positives, une racine négative. L'équation dérivée
F'(x) = 12#02 — doc -f 6) = 0
admettant les racines 0, 2, 3, nous formons le tableau suivant
x ... — oo, 0, 2, 3, -f oo F(œ) . . . + oo, — 7, 25, 20, + oo .
Les variations de la seconde ligne montrent que l'équation proposée a une racine négative et une seule racine positive, comprise entre 0 et 2. Comme Fil) = 12, la seconde racine est moindre que 1.
(*) Les signes de F(6L — h) et F(bi~\-Ii) sont ceux de— F'(bx -h) et F'^x-j-A) (1 93; et ces derniers signes se déterminent facilement.
198. Théorème. - Si l'équation F(x) 0 a toutes ses racines réelles et inégales, les racines de Véquation dérivée F'(x) = 0 sont réelles, inégales et séparées par celles de F(x) = 0.
En effet, soient a, b, c, ..., A*, / les m racines de F(x) = 0 supposées distinctes et rangées par ordre croissant. Chacun des (m — ]) intervalles (a, b), {b, c), ..., (k, 1} comprend au moins une racine de l'équation F'(x) = 0; comme celle-ci est de degré (m — 1), il y a précisément une racine dans chacun des intervalles.
199. Remarques. — I. Le théorème précédent subsiste également dans le cas des racines égales, pourvu que l'on considère une racine multiple d'ordre p comme équivalente à /; racines
consécutives.
Pour fixer les idées, supposons que b soit p l'ois racine de F(x) = 0 et représentons la suite des racines par
a, blt 6„, .., b9, c, d, ... , /, (4)
où 6j = b.z = ... - bp = b]; cette suite offre (m — 1) intervalles. Comme b est [p — 1) fois racine de V(x) = 0, on peut attribuer une racine à chacun des intervalles formés par la suite b{, b,, ... , bpf^les autres intervalles de la suite (4) comprennent au moins une "racine de F'(.v)=0. On en conclut que toutes les racines de F'(x) = 0 sont réelles et séparées par les racines de F(x) = 0.
II. On démontre, de hfmème manière, la proposition suivante :
Si V équation F(x) = 0 a p racines comprises entre deux nombres donnés, Véquation F'(x) — 0 en a au moins p — 1 dans le même intervalle, une racine multiple d'ordre q étant comptée pour q racines simples.
I1J. Réciproquement, si Véquation F'(x) = 0 a p' racines réelles dans un intervalle donné, Véquation F(x) = 0 en a, au plus, p' + 1 dans le même intervalle.
Car de // > p — 1 on déduit p < p' \ - 1.
11 résulte de là que l'équation F(x) = 0 a, au moins, autant de racines imaginaires que la dérivée F'(x) = 0.
200. Application. — Cherchons les conditions pour que l'équation
F{œ) = A0.<cs-\- 3ALa?2 I SA2œ | A., -0 ait trois racines réelles et inégales.
Soient «•/, />, c ces racines rangées par ordre croissant. D'après le théorème de Etoile, F'(x) a une racine a comprise entre a etb, et une racine p comprise entre Z; et c. Inversement, F(x) a une racine a comprise entre — oo et k, une racine /; entre oc et 3, une racine c entre |3 et ! oo. Si donc on suppose A„ 0, la substii utioii de
— OO, a, 3, -\- oo à la place de x dans Iq.vj donne des résultats ayant les signes
On voit que F'(x) a deux racines réelles a, [3 et que F(a)F(p) < 0.
L'inégalité F (a) F(3) < 0 suffit pour assurer la réalité des ti'ois racines de F(x). D'abord, lorsque les racines a, [3 de F'U*) sont imaginaires ou réelles et égales, le produit F(a) F($) est, respectivement, un produit de deux imaginaires conjuguées ou un carré parfait et, par suite, positif: donc la relation F(a) F(p)<0 ne subsiste que si les racines a, 3 de F'(x) sont réelles et inégales. Ensuite, si l'on suppose A0 > 0, a < 3, la dérivée F'{x), égale à A0(.v — a) (x — 3), est négative dans l'intervalle (a, 3,; donc F(.v) est décroissante et l'on a F(a) > F(p-), de sorte que l'inégalité F(a) F(P) < 0 entraîne F(a) > 0, F(3 < 0.
Le produit F(a) F(P) peut prendre une forme remarquable. En effet, introduisons une variable d'homogénéité y et posons
L'identité d'Euler (188) donne
d'où, en remplaçant y par l'unité et a: par les racines a, 3 de F'(x)
F(«, 1)==^'^, 1), F(p, l)-'gP'y(P, 1). Par conséquent
F(a) F(p) = (A.a2 + 2A2a -f- A3) (À,p* + 2A2p + A3). Substituons encore les valeurs
a = ~ Ai - VÂj - A0A2 ? Q = — A, -f- VÂj — A0A2 . A0 A„
Xeuberg. — Algèbre. 12
il vient
(2Af-3A0A,A2 + A3Aii)M 4(A0Ae - A?)»
1 ( a)i1 (iJ) = A I
(A0A3 - A,A2)2 - 4(Ai -A0A2)(A1-A1A3)
Pour que l'équation F(x) — 0 ait une racine double, on doit avoir F(a) = 0 ou F(j3j = 0; par suite
(A0A3 - A^)2 - 4(AÎ - A0A2) (A| - A1A3) = 0, ainsi qu'on l'a trouvé ci -dessus (192, II).
Exercices et notes.
1. Appliquer le théorème de Ilolle à la séparation des racines des équations :
.>■'■ - u.v2 + 9x - 10 = 0, œ3 — 12# |- 3 = 0, xa j 8â?s __ Ux2 __ 5 = q5 av4 4 -^ 6x3 j 12 ,, . 7 E= o.
2. Soit F(x) = 0 une équation algébrique avant toutes ses racines réelles. Les équations dérivées F'(.v) — 0, F"(.v) — 0. ... ont toutes leurs racines réelles. Plus généralement, si l'équation homogène F(.v, y) = 0 n'a que des
racines réelles, il en est de même de l'équation FJ,:j~q' =0.
3. La m6 dérivée de l'expression v* - - , est désignée par X n et porte
le nom de polynôme de Legendre. Démontrer que l'équation Xm=0a toutes ses racines réelles et comprises entre — 1 et | 1. 1. Si m est impair, l'équation
->■ m /»m— 1 ',.ni—2
a une seule racine réelle. Si m est pair, elle a deux racines réelles au plus.
On a FY.vj ' -— • truand m est impair, on a constamment F'i'.vi > 0 :
donc Fia-] croit sans cesse avec x et s'annule pour une seule valeur de .v, de signe contraire à n. Quand m est pair, F'(x) s'annule pour une seule valeur réelle x = — 1, qui est racine simple de F'(.v) = 0 ; de plus, F'(x) < 0 ou > 0 suivant que x < — I ou > — 1 de sorte que F(.v; décroit dans l'intervalle ( — oo, — 1) et croit dans l'intervalle ( — 1, oo) Donc, si Fi — 1) 0, toutes les racines deF(.v)=-0 sont imaginaires. Si F(— 1) < 0, l'équation proposée a une racine dans l'intervalle ( — oo, — 1) et une seconde racine dans l'intervalle (— 1,-f-oo); celle-ci est comprise entre —1 et 0 ou est positive suivant que n est positif ou négatif. Enfin, si F( — 1) = 0, l'équation Fi .v, } a une racine double x = — 1 et n'a pas d'autre racine réelle.
L'équation
se l'amène à la précédente par la substitution x =
5. Si A est un nombre réel, deux racines consécutives de l'équation F(.v) 0 comprennent un nombre impair de racines de l'équation
Fx{x) = F(x) — kF\x) = 0. (Waring.)
¥\(x) jouit des propriétés de F'(ac) qui interviennent dans le théorème de Ilolle. En effet : 1° Une racine multiple, d'ordre/), de T?(x) = 0 est/j — 1 fois racine de F1(oc) = 0. 2° Si h est un nombre positif assez petit, les rapports
F(g — h) F(a + h) FAa-h)' F,(a + h)
ont des signes contraires; car, si a esty> fois racine de F{x) = 0, on a F(a + h) = J EW(a) -I- .... F,(« + A) = - ■ *^~j' y F<»'(«) + ... ,
et les signes de F(a -\-h), F,(a {- h) sont ceux des premiers termes de leurs développements. Cela posé, si a et b sont deux racines consécutives de F(jc) = 0, F(a-{-/fc) et F(b —h) étant de môme signe, F^a-J-/*) et F^b —h) sont de signes contraires.
Remarques. —I. Les racines réelles do F,/ a?), jointes à — oo et -\~ oo, peuvent servir à séparer les racines de F(x).
II. Si F(x) a p racines réelles, T?\(x) en a au moins p — 1 ou plutôt en a au moins/;, car F(x) et Fi(.v) sont de même degré
III. Si F(x) n'a que des racines réelles, il en est de même de FY(x)
6. Si l'équation F(x) -0a toutes ses racines réelles, il en est de môme de
Fp{x) ee a0¥{x) -f a,F'(^) + a.2F"(.v) + ... -f apF<PÎ(a?) = 0, a0, alt .'?2, ••• étant des constantes telles, que l'équation
/\a?) = aQœv -f- alx^~l -|- ... + «p = 0
ait toutes ses racines réelles. (Hermite.)
En effet, considérons les polynômes
Fx(x) = F(x) — ktf'iœ), F,{x) = F,(» — kzF\(x), ... Fp(a?) ee Fp,{#) — /ipF'p,(a7) == F(a?) — SA, . Ff(^) + 2/e,£2 . F"(x) ....
Les équations F,(a:) — 0, F.,(a;) = 0, ..., Fp(a;) ^=0 ont toutes leurs racines réelles (ex. 5). Prenons j)our A,, k2, ... , Ap les racines f(x) = 0, etc.
Remarque. — Plus généralement, l'équation Fp(.v) = 0 a au plus autant de racines imaginaires que l'équation F(x) —0.
