L'équation

ne peut avoir deux racines réelles. (SYLVESTER.)

Posons

de sorte que l?\x) ecPvfa) On a

L'équation F(p)te)=0 ayant au moins;; — 2 racines imaginaires (voir ex. 1 1 1, il est de même (199, III) de l'équation F(.r)~0, et aussi de l'équation oo- — 0. 14. SoitF(.r) une fonction entière de degré m, et soit

f[x) = a0 -\- avv -f- a2o?2 4 ... -f- û^p = 0

une équation dont toutes les racines sont réelles. On effectue la division de 1 par f{x) suivant les puissances croissantes de x ; soit

b0 4 bxx 4 b.zx- -f- ...

le quotient ainsi obtenu Démontrer que l'équation

•(a?) = ^F(r) + ^F'(.r) -f &2F"(*) -f ... -f &mF(m>(a?) - 0,

a, au plus, autant de racines réelles que l'équation Y(x) = 0. (Poulain. Il suffit de démontrer (ex. 6) que

F(x) = d0o{x) 4 a^'(x) + afi"(x) 4 ••• -f Vf'p^) •

Or, si l'on arrête le quotient - - au terme bmxm, le reste correspondant à la forme x^ H<I»(a?), ^(a?) désignant une fonction entière, et l'identité

1 ~ (b0 + ô^ -f ... -f &m#mJ («0 -h ct{x -f ... -f apa?') -f a?m+li|/(a?)

donne les égalités

a0b0 =-- 1, a^o 4- a0bl = 0, ... a4ft0 4 aq-A 4 ... 4 «<Ai = 0, • • (=0

où l'on su}>pose âj = 0 si i > y), et b\ = 0 si î > m. On a ainsi les relations

o(x) = b0V[x) 4 ^F'(.r) h ... 4- ômFC"%), •'(*) = A0F^')-|-... I-^-jF^»,

<p'm)(» = b0F>mXx);

ajoutons-les membre à membre après avoir multipliées respectivement par a0, a1} ... am, et tenons compte des relations (a), etc.

15 Soient w0, m1} m2, ... m.n, les coefficients du développement de (1 -\-z)m. Démontrer que l'équation

m<5 4 vA-v 4 w?|a?2 4" •• • I r>i;uxUÏ = 0 a toutes ses racines réelles. (II. LAURENT I

Cette question ne diffère pas essentiellement do L'exercice 3. En effet,

si l'on pose it (~-- — l)m, l'équation ri(m) = 0 a m racines comprises entre — i et 1 1 <)r. si l'on pose y. [s — 1 "», p O | l)m. on trouve

idm) = (a]3)'m) | w1a'p(m-1) + m2a"p'.m-^+ ,.. | - a(,n$.

Le terme général de u(,n est

».1a'n)p'm °' ///,, <m(ra-l).. (m—;/ f-l)(*o— l),n n Xm(m— 1)...(h |-l)f~ ! I '