THÉORÈME DE STURM

201. Fonctions de Sturm. — Soit V - 0 une équation algébrique, à coefficients réels et n'ayant pas de racines égales, et soit Vj la dérivée de Y. Faisons sur V et V, les opérations du p. g. c. d., mais en changeant à chaque opération le signe du reste, et en prenant le reste ainsi modifié pour diviseur de la division suivante.

Désignons les restes, changés de signe, par V2, V3, ... Vr, et les quotients par Q^-Q,*, ..., Qr-i ; nous aurons les identités :

V ^ViQx — Vg, V, = V2Q2 — V„

Vn -i = VnQn — Vn+l.

Vr 2 ^V^Qr-i — Vr.

Les fonctions V, V, n'ont pas de facteur commun, puisque les racines de V == 0 sont inégales; donc le dernier reste Vr est indépendant de x et différent de zéro.

On appelle fonctions de Sturm les quantités

Y, Vlf Y,, ..., Vr. (?)

202. Théorème de Sturm. — Soit V = 0 une équation algébrique à coefficients réels et qui n'a pas de racines égales. Le nombre des racines réelles de celte équation, comprises entre deux nombres réels a, 3, est égal au nombre de variations perdues par la suite de Sturm relative à Y, quand on substitue à x le nombre a, puis le nombre (3, en supposant a < p.

Autrement dit : écrivons sur une première ligne les signes des résultats qu'on obtient en remplaçant dans la suite des fonctions de Sturm x par a; écrivons sur une seconde ligne les signes des résultats qui correspondent à x = (3. Soient n% le nombre des variations de la première ligne, îio celui de la seconde ligne; la différence nx — îio est égale au nombre des racines de V, comprises entre a et 3.

Le théorème résulte des propriétés suivantes de la suite de Sturm ;

1° Les fonctions V, V15 V2, ..., Vr-i varient d'une manière continue avec x.

2° Le dernier terme Y, a un signe invariable.

3° Deux fonctions consécutives ne peuvent s'annuler pour une même valeur de x.

4° Si une valeur x - y annule une fonction intermédiaire V„, les fonctions voisines Vn i et Vn+i ont, pour x y, des valeurs égales et de signes contraires.

5° Enfin, quand x traverse, en croissant, une racine de

l'équation Y = 0, le rapport passe du négatif au positil.

Les deux premières propriétés sont évidentes. Pour démontrer la troisième considérons l'identité

Yn-i == VBQa-Vn+l. (3)

Si une même valeur de x annulait Vn et V„+i. elle annulerait aussi Vn— 1 ; annulant ~Vn et Vn--i, elle annulerait Y„ ? ; et ainsi de suite. Donc Y et Vl aurait un facteur commun, ce qui est contraire à l'hypothèse (182).

Soit y une racine de Vu 0; si Ton remplace x par y dans

l'égalité (•>), on trouve Vn i — V„j.,. Donc V„ , ol Vn i i on des signes contraires pour toute valeur de .v annulant Vn.

Si y désigne une racine de V 0, le rapport est négatif

pour .v y — h et positif pour .v y ! // fi 93).

Cela pose, faisons croître a* d'une manière continue <le -/ à (3. La suite des signes des fonctions de Sturm ne peut éprouver de changement que lorsqu'une fonction passe par zéro Examinons successivement le cas où x passe par une valeur annulant une fonction intermédiaire V^, V2, .., Vr-u et celui ou x passe par une racine de Y.

Soit y une racine de Vn: on sait que pour a; = y, Yn-i et Y„ ( , ont des signes contraires. Si h est une quantité suffisamment petite pour que Vn x et Yn| i ne s'annulent pas dans l'intervalle (y — h, Y -f h)> ^es signes des fonctions Vn-i, Yn, Yn-j i sont par exemple,

» ii — 1 mm ' n

Quel que soit le signe de Yu pour x - y — h et pour ac = y - 1- /?, les trois fonctions présentent une seule variation, tant pour x y ~~ ^ <Iue Poïir v == Y h h î seulement la variation se déplace si Vn change de signe au passage de x par la valeur y.

Si y désigne une racine de Y, le rapport est négatif pour

x - y — /?, positif pour x y ] // : donc, quand x traverse, en croissant, une racine de Y, la suite de Sturm perd une variation qui était placée entre Y et Yl.

D'après cela, lorsque .v croît de a à [3, la suite des fonctions de Sturm perd une variation chaque fois que x passe par une racine de Y et n'en perd que dans ce cas ; en outre, elle n'en gagne jamais. Il en résulte (pie la différence entre les nombres de variations qui correspondent respectivement à x ,3 et à x = a, est égale au nombre des racines de Y, comprises entre a et B.

203. Remarques. — I. Pour faciliter les divisions qu'exige le calcul des fonctions de Sturm, on multiplie, s'il y a lieu, un dividende par un nombre convenablement choisi ou l'on divise un reste par un facteur commun à ses coefficients (*). Il est bien entendu que les facteurs introduits ou supprimés sont essentiellement positifs.

II. vSi l'on sait qu'une fonction Vp de la suite de Sturm conserve un signe invariable dans l'intervalle (a, 3), on peut arrêter la suite à Vp. Cette remarque résulte de la démonstration donnée ci-dessus.

III. Le théorème de Sturm est applicable à toute suite de fonctions Y, Vlf ... Vr jouissant des propriétés énoncées cidessus; il n'est pas nécessaire que Vi soit la dérivée de V ni que les fonctions se déduisent les unes des autres par le procédé du p. g. c. d.

IV. La 5e propriété pourrait être remplacée par celle-ci : le

rapport v- passe du positif au négatif chaque fois que x passe ' i

par une racine de V. Dans ce cas, le nombre des racines comprises entre a et (3 est égal au nombre de variations gagnées par la suite de Sturm quand x passe de a à |3.

V. Si a ou |3 annule une fonction intermédiaire Vn, on compte une variation pour les trois fonctions Vn-i, V„, Vn— i-

Si a est racine de V, on donne à V le signe contraire à Vt. Cela revient à faire la substitution x = a — h. Les signes de Y,, V2,V3, ... sont les mêmes pour a — h que pour a.

De même, dans le cas où (3 annule V on donne à V le signe de VM c'est-à-dire on substitue 3 -J- h au lieu de 3 dans la suite de Sturm.