Exemple. — Soit l'équation V = x* — 2x2 -f x

Le théorème de Descartes indique l'existence d'une ou de trois racines positives; celui de Sturm donne une indication plus précise.

i*) Les fonctions ainsi modifiées continuent ;'t être désignées par V, Vj,

Voici le tableau des calculs

(*) 4x4 — Sx- + 4x — 4

4a?2 - Sx + 4

— 13êx

Ainsi

y, = ix~ -

On a ensuite :

— 2x- -f- x — 1> Vj = 3a? + 4, V3 = 23a? +

a?«0 ... - 4- 4" a?.= 4-oo. ..4- 4- 4-

Pour x — 0, la suite a deux variations; pour x = oo,' une variation. Comme une variation se perd, l'équation a une seule racine positive.

205. Conditions de réalité des racines. — Le nombre des racines réelles de V est égal au nombre de variations que perd la suite de Sturm quand on y remplace x successivement par — oo et par -f- oo.

Cherchons les conditions nécessaires pour que toutes les racines soient réelles. Si Y est de degré m, Yx est de degré m — 1 et le nombre des fonctions de Sturm est au plus égal à m 4- 1 • Le nombre des variations de la suite de Sturm pour

(*) On multiplie par 4.

(**) On multiplie par 232.

,v = - oo est doue an plus égal a m. On en conclut que la suite doit être complète et que les coefficients des premiers termes des fondions doivent être positifs. En efl'et, les fonctions ont, pour .v i oo, le signe du premier terme et les degrés des premiers ternies sont alternativement, pairs et impairs, ou impairs et pairs : par conséquent, si les conditions indiquées sont remplies, la suite ne présente que des variations pour a: — oo et n'offre <pie des permanences pour .v -j- oo.

Connue les premiers ternies de V et Vj ont le même signe, le nombre des conditions est au plus égal à m — 1 ; il est inférieur à m — 1 si les conditions rentrent les unes dans les autres.