Trouver la courbe engendrée par l'affixe de l'imaginaire

£ = a cos2 cp 4 &* sin2 <|/, cp et ty étant deux angles variables liés par la relation

sin2 cp -)-2 cos2 *| = - •

11. Soient Z, Z' les af fixes de deux imaginaires variables z, z'. A toute équation z '.—f(z) correspond une construction déterminée au moyen de laquelle on déduit de Z le point 7J : cette équation définit une transformation.

Etudier les transformations suivantes où a, b désignent des quantités

réelles, et a, a', jî, des quantités imaginaires :

Z1 = Z + a, .2' = Z -f- bi9 Zr — Z -f- a (translation) ; *' = 2t, s' = s (cos 0 4- i sill 6) (rotation) ; z' = ctz (homothétie) ; Z] — (ce -j- &/)£ (similitude) ; — ' = a, zz' = M, zz] = « (inversion symétrique) ;

'~ — as: -p P = 0 (inversion symétrique à deux pôles)

zz'

12. Le produit de plusieurs nombres de la forme a2 -j- lbz est un nombre de la même forme. (Eui.er.)

13. Le produit de plusieurs nombres de la forme a2 -f- b~ + C" 4~ d2 est de la même forme. (Euler.)

Ce théorème résulte de l'identité

(a2 -f 62 + c2 + a7'2) (a'2 + 6'2 + c'2 + cl'2) = (aa' + W + ccr 4- tfd')8 4- (a£' - ôa' — céP + de')* + (ac' — ca' H- W — c/ê')2 + (ad' - efa' ~ bc' -f ce')2. Si l'on remplace b, c, rf, 6', cr, d' par

on obtient un théorème plus général, dû à Lagrange.

14. Exprimer cos 76 en fonction de cos 6, et sinTO en fonction de sine (28).

15 Chercher les sommes

C — cos a -\- cos 2a -\- cos 3a -f- •• 4- cos m — la,

S — sin « + sin 2a -\- sin 3a -|- ... + sin m — la. 10. Chercher les sommes C = cos a -\- 2 cos 2a 4- 3 cos 3a 4- ••• 4- (w — 1) cos m — la,

S = sin a -j- 2 sin 2a 4- 3 sin 3a 4- ••• 4- (>w — 1) sin m — la.

17. 0 désignant une variable réelle qui prend toutes les valeurs de — oo à 4~ oo, et a, a', {3, {3' représentant des constantes imaginaires, l'affixe de l'imaginaire

décrit une circonférence.