CHAPITRE IL

DETERMINANTS

Partage des permutations en deux classes.

30. Définitions- — Considérons les permutations des n premiers nombres . -

Deux éléments d'une telle permutation présentent une inversion ou un dérangement, quand le plus grand de ces nombres est placé avant l'autre. Une permutation est dite paire, positive ou de la première classe quand elle a un nombre pair d'inversions; impaire, négative ou de la seconde classe, si elle en a un nombre impair.

Par exemple, la permutation 35214 qui a six inversions, savoir 32, 31, 52, 51, 54, 21 est paire. La permutation 123 ... n est rangée dans la première classe.

On appelle transposition l'échange de deux éléments d'une permutation. Deux permutations quelconques de n éléments peuvent toujours se ramener l'une à l'autre au moyen d'un certain nombre de transpositions. C'est ainsi qu'on transforme 35214 en 24153 en faisant successivement les transpositions (3, 2), (5, 4), (3, 1), (3, 5), ce qui donne

31. Théorème. — Tonte transposition change la classe d'une permutation.

1° Transposons d'abord deux éléments consécutifs x, y. Soit la permutation AxyB, où A désigne l'ensemble des éléments qui précèdent x, et B celui des éléments qui suivent y. La transposition (x , y) introduit ou supprime l'inversion que peuvent présenter x et y, mais elle n'altère pas les autres inversions ou non-inversions de AacyB; donc les permutations AvVjB et Aya'B sont de classes différentes.

2° Transposons maintenant deux éléments x, y qui sont séparés par p éléments alt a2, ... av. Pour passer de

Aoca^tz . . . «^B à kyaycio . . . avxB,

on peut opérer successivement les transpositions de deux éléments consécutifs :

(.r, rtj), \x, a2), (a?, a3), .... (a?, ap), (a?, y),

(y, «..), (y>«p-i)i (y.ftp-2), •••• (y,«i).

Ces transpositions étant au nombre de 2p + 1, la première permutation aura changé de classe un nombre impair de fois ; donc elle a passé à la classe opposée.

32. Corollaires. — I. Deux permutations sont de la même classe ou non, suivant que Vune se déduit de l'autre par un nombre pair ou impair d'échanges de deux éléments.

II. Une permutation est paire ou impaire suivant quelle peut se déduire de la permutation 123... n au moyen d'un nombre pair ou impair de transpositions.

Nous avons ainsi un second principe pour classer les permutations.

Exemple : la permutation 35214 résulte de 12345 à la suite des transpositions (1, 3), (2, 5), (1, 2), (4, 1) ; donc elle est paire.

III. Il existe autant de permutations paires des nombres 1, 2, 3, ... n que de permutations impaires

Car toute permutation paire, par la transposition de deux éléments déterminés a et b, devient impaire et réciproquement.

33. Permutation circulaire. — Si dans une disposition des nombres 1, 2, 3, ... n, on remplace chaque élément par celui qui le suit, et le dernier par le premier, la nouvelle disposition est appelée une permutation circulaire ou tournante de la première. Les deux dispositions appartiennent à la même classe ou non, suivant que n est impair ou pair; car on passe de la première à la seconde en échangeant successivement le premier élément avec chacun des suivants. Par exemple on transforme 35421 en 54213 en faisant les transpositions successives (3, 5), (3, 4), (3, 2), (3,1). •

34. Permutations d'éléments quelconques. — Les notions précédentes s'étendent facilement à des éléments désignés d'une manière quelconque.

On considère l'une des permutations comme étant la permutation principale ou initiale; c'est celle qui assigne aux éléments leur rang ou numéro d'ordre. En remplaçant dans une permutation quelconque chaque élément par ce numéro, on est ramené immédiatement à ce qui précède.

Pour opérer directement, on peut encore appeler inversion la combinaison de deux éléments d'une permutation qui sont placés l'un par rapport à l'autre dans un ordre différent de celui de la permutation principale; suivant qu'une permutation présente un nombre pair ou impair d'inversions elle appartiendra à la première ou à la seconde classe. Cette classe résulte aussi du nombre des transpositions qui servent à passer de la permutation principale à la permutation donnée.

Par exemple, si paris est la permutation principale, la permutation raspi présente les inversions ra, rp, ap, sp, si; donc elle est impaire. On arrive à la même conclusion en transformant paris en raspi au moyen des transpositions (/), r), (p, s), (i, p).