DÉFINITION D'UN DÉTERMINANT
35. Définitions- — On nomme déterminant de n2 nombres rangés par lignes et colonnes (*) en tableau carré, la somme algébrique de tous les produits de n facteurs obtenus en prenant un élément et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne, et en affectant chaque produit du signe -f- ou du signe — , suivant que la permutation formée par les numéros d'ordre des lignes et la permutation formée par les numéros des colonnes auxquelles appartiennent les facteurs de ce produit, sont de même parité ou de parités différentes.
On représente un déterminant en plaçant entre deux barres verticales le tableau de ses éléments.
Considérons, par exemple, le déterminant
(*) Les lignes du tableau carre sont les lignes tracées dans le sens de récriture, et les colonnes sont les lignes perpendiculaires aux premières Les lignes et les colonnes se nomment aussi rangées. ..........
Ii ordre d'un déterminant est le nombre des lignes qui le composent.
Un terme de ce déterminant est le produit
ses facteurs appartiennent respectivement aux lignes de rangs 2, 4, 3, 1 et aux colonnes de rangs 3, 1, 4, 2. Les permutations 2431 et 3142 présentant l'une'quatre et l'autre trois inversions, le terme considéré est précédé du signe — ; il est donc égal à'2.22.3.5.
Pour exposer la théorie des déterminants, nous désignerons les éléments par une même lettre affectée de deux indices dont le premier marque le rang de la ligne, et le second le rang de la colonne de l'élément.
Le déterminant du ne ordre est alors représenté par
ni
llY3
On appelle diagonale principale (ou descendante) l'ensemble
des éléments diagonaux an, a,2, a
La seconde dia-
gonale (ou diagonale ascendante) va de anl à aln.
Un élément ars est dit pair ou impair suivant que la somme r -\- s est paire ou impaire; les éléments de la diagonale principale sont pairs. Deux éléments sont dits conjugués lorsque leurs indices ne diffèrent que par l'ordre; tels sont ars et asr.
36. Formation des termes.— Soient a^ ... an etp1p*...pa deux permutations quelconques des nombres 1, 2, 3, ... n. Un
terme du déterminant (1) est évidemment
«iPi a2P2 «3^3 an?n
où £ désigne + 1 ou — 1 suivant que les permutations o^a^, .. an et (3^2 .. pn sont de même parité ou de parités différentes.
Le signe de T est indépendant de l'ordre des facteurs. Car un échange de deux facteurs revient à transposer à la fois deux premiers indices et deux seconds indices, de sorte que les deux séries d'indices changent à la fois de classe. Mais par une suite d'échanges de deux facteurs on peut donner aux facteurs de T tel ordre qu'on veut.
Pour simplifier, écrivons les facteurs de T de manière que les premiers indices se suivent dans l'ordre naturel. T prend alors la forme
£.a1Tia2Ï2a3y3 ... anyn,
où Yffo ... Yn désigne une permutation des nombres 1, 2, .. n et où s — 1 ou — 1, suivant que cette permutation est paire on impaire.
On peut donc énoncer la règle suivante :
Le premier ternie (terme principal) (Tan déterminant est le produit ana22 ... ann. On en déduit tons les autres en laissant les premiers indices invariables et en permutant les autres de toutes les façons. Chacun des termes ainsi obtenus est précédé du signe -\- ou du signe — , suivant que la permutation des seconds indices est paire ou impaire, oii "suivant quelle résulte de la permutation initiale 12 ... n par un nombre pair ou impair de transpositions.
On pourrait aussi laisser invariables les seconds indices du terme principal et permuter de toutes les façons les premiers indices.
L'une et l'autre de ces règles montrent que le développement d'un déterminant d'ordre n comprend n ! termes.
37. Notation des déterminants — La notation des doubles indices est souvent remplacée par la suivante :
ctx bx c, ... lx
«g br, C.j ... L
Cln On G'n • • On
Les différents termes du développement résultent alors du terme principal axbzc3 ■•■ In en permutant de toutes les façons possibles soit les lettres a, b, c, ... / sans déplacer les indices, soit les indices sans déplacer les lettres ; le terme aura le signe + ou le signe — , suivant que la permutation des lettres ou celle des indices présente un nombre pair ou un nombre impair de dérangements.
Les déterminants considérés ci-dessus sont souvent représentés par
On écrit seulement la première ligne entre deux traits verticaux lorsqu'elle suffit pour faire connaître les autres lignes ; ainsi le déterminant (1) peut être représenté par
| a1 bx Cj ... lx | .
Enfin, lorsque les éléments du déterminant sont caractérisés par deux symboles dont l'un reste constant dans une même ligne et l'autre dans une même colonne, on écrit sur une première ligne les signes distinctifs des colonnes et sur une seconde ligne ceux des lignes. Ainsi le déterminant (1) est dénoté par
quand on emploie la notation des doubles indices, on peut représenter le déterminant par
