CHAPITRE XY

êq hations i) u trot stem e degré i;t dû quatrième degré.

Équation du troisième degré.

226. Méthode de Hudde. — Eu faisant disparaître le terme en x2 d'une équation du 3e degré (136), on la réduit à la forme

X3 -\~ pX- ~f- q = Ô. (1)

Posons x -= y \- z, y et z étant deux ineonnues auxiliaires; l'équation devient

.>r H- *r; 4- 3y*2 f s3 f pi> + *) + ? - 0, nu iy r\- ;3 + q) -f (j/ + s) (%; -f- p) - 0.

NEUBERG. — Algèbre. \\

Elle est vérifiée par les solutions du système y* + ^ H- q = 0, 3ys 4- P = 0,

w ou y3 -f *3 = — g, yz = — -«

Prenons pour inconnues y3 et s3 ; comme elles ont pour somme — ry, pour produit — f '. j , elles sont les racines de l'équation

Par conséquent

M - sz - ' 2 ± Y 4 + 27

et la valeur cherchée de -Y est

227. Formule de Cardan. — Ce résultat est connu sous le nom de formule de Cardan, bien qu'il soit dû à Tartaglia.

L'inconnue auxiliaire y a trois valeurs, que nous représentons par R1} Rjô, RXQ2, 6 désignant une racine cubique imaginaire de l'unité. De môme, z a trois valeurs R,, R2G, R262. Comme on

doit avoir yz — — ., > on associe des valeurs de y et z ayant un

produit réel. Si R[ et R2 vérifient cette condition, de manière

que RjR2 =-- — ^> les valeurs de X sont

œl = Rj + R2> ^2 = Ri° + R*6'2» -r3 = M2 -I- H20.

La formule (2) envisagée dans toute sa généralité comporte neuf valeurs. L'introduction de six valeurs étrangères à l'équation (Ij est due à ce qu'on a remplacé l'équation yz = — ~ par

l'équation plus générale y3zz = — fe; celle-ci équivaut aux trois

suivantes :

yz =

pW

On obtiendrait les deux dernières si, dans l'équation (1), /> était remplacé par/ri ou p62; donc les neuf valeurs de x résol- \ ent les trois équations

x* -|-yu' 4- 7 = 0, r-fpO,ï | f/ = 0, #3 4- pQ*# | q 0,

contenues dans l'équation unique du 9e degré

(j?3 4- (//' — yy':.r: .

On ne conserve que les solutions de l'équation (1) en écrivant