Discussion. — Nous distinguons trois cas

1° . - -{- Lj > 0. Dans la formule (2), les radicaux cubiques

portant sur des quantités réelles, nous pouvons prendre pour R15 Ro leurs valeurs arithmétiques. Les racines de (1) sont alors

a?! = Ri 4- U2,

x% = PMo 4- R,o2 = - g (R, f R,) - \ (R, - R2) V - 3 ;

âiâ

la première est réelle, les autres sont imaginaires.

2o i! ij{L = (). On a R, - R,; par suite

L'équation a donc deux racines égales.

n2 V3 3° À- 4-iv* < 0. Les radicaux cubiques portant sur des (iuaii-

tités imaginaires, H{ et Ii2 sont imaginaires. L'équation paraît donc avoir trois racines imaginaires. Mais nous avons vu (206) que les trois racines sont réelles dans l'hypothèse considérée.

On en conclut que les imaginaires se détruisent dans les valeurs de xx, a*3, x3. Cependant l'algèbre est impuissante à ramener les expressions de ac1? x2l x3 à la forme réelle ; c'est pourquoi le cas qui nous occupe, est appelé cas irréductible. Nous allons montrer comment, au moyen des fonctions circulaires, on peut obtenir les expressions réelles des racines.

Cas irréductible.

<72 !>* 230. Première Solution. - Lorsque -- [ ~ 0, posons

— \ ± \/fÇ 4- Ct - >'(l'OS 0 ± V - 1 Bill 6);

il en résulte

|, rrfn» = \J -iq' ' "''"<■ Faisant la somme des carrés on obtient

rcosO= - |i sinO---- y -57