Seconde solution. — On a l'identité

ci y.

sin a = 3 sin - — 4 sin:i - • o •>

Si sin x est donné, cette égalité peut servir à déterminer

sin -; en posant sin = v, on aura a résoudre 1 équation o o

V3 — 7 */ -h 7 sin a — 0 . (4)

Les trois racines de cette équation sont réelles. En effet, les arcs qui ont un même sinus sont compris dans les expressions 2mt -f- a, (2/1 + 1)~ — *5 « étant un nombre entier quelconque. Comme l'équation (4) dépend de sin a et non de l'arc a, elle

ii i i i i ^ 2/l7r + a

donne les sinus de tous les arcs de la tonne — rj~ ou

.> " ; si l'on remplace n successivement par 3 n\ 3/îr-f- 1 , o

3 n' f 2, on trouve que l'inconnue y a trois valeurs différentes

représentées par

sin - > sm — - ' sm .-,-- • (5)

Telles sont les racines de l'équation (4).

Mais ces racines s'obtiennent aussi au moyen des tables trigonométriques, remarque qui conduit à une i «solution du cas irréductible.

Multiplions les racines de l'équation .v3 -j- px h 7 = 0 par mie indéterminée k; nous aurons l'équation

que l'on peut identifier avec l'équation (4). Les conditions

pk2 = — - ' 7/e3 - : sin a, 4 4

donnent

*-W4 —- fv

On vérifie facilement que dans le cas irréductible, cette valeur de sin a est comprise entre — 1 et 1. Les racines cherchées sont donc

sin-. sin » sin-

232. Application. — Partager un hémisphère en deux parties équivalentes par un plan parallèle à la base.

Prenons le rayon pour unité, et soit x la distance du centre au plan cherché. Le segment compris entre la base de l'hémisphère et le plan parallèle doit être égal au quart de la sphère ; de là, l'équation

ou a;3 — Sx -f- 1 = 0. (ô)

Elle rentre dans le cas irréductible, car

Si Ton applique la formule de Cardan, on trouve

V~2 + 2V~3+ V ~2~2V Posons (230)

— } h l V — 3 = n'eos 0 ± V — 1 sin 0),

alors

rcos6 - = — -, r sin 8 =gV3,

d'où

r = 1, cosO==: — -> sinO = -V3.

Od peut donc prendre 0 = 120», 120° + 360°, 120° 1-720", et la formule de Cardan donne pour x les valeurs

2 eos 40°, 2 cos 160° = — 2 cos 20°, 2 cos 280° = 2 eos 80°.

En se servant des tables de logarithmes, on trouve

xx = 1,532..., x~ = —1,8793..., x2 =0,3472...

La valeur xz répond seule au problème de géométrie.

Si Ton multiplie les racines de (6) par une indéterminée A* (231) et qu'on identifie la nouvelle équation avec l'équation (4), il vient

3/r == » /r — sin a ;

d'où

k = l , sin a = h * - 30°, 31)0°, 750°. Les racines cherchées sont donc a?, =^-==2sinl0°,a;2=2sinl303==2sin50'J,a?3-=2sin250o----2sin70o;

elles se ramènent aux expressions trouvées ci-dessus.

Equation du quatrième degré.

233. Méthode de Descartes. — Toute équation du quatrième degré peut être ramenée à la forme (136)

x* 4- Ao?2 +B*4-C -0. (7)

Si l'on parvient à mettre le premier membre sous la forme d'un produit de deux facteurs du second degré,

(■<-' ! px + q)(x*+p'x \-q),

il suffit d'égaler à zéro chacun de ces facteurs et de résoudre les équations ainsi obtenues. Identifions ce produit avec le premier membre de (7); le terme en .vn ayant un coefficient nul, on a p + />' — 0. Xous posons donc

(oc* -I - px f q) (*2 — P* -1- <ï) = ^ f A.u°- -f IU + C . (S) On trouve facilement les égalités de condition

'/ "f <i — P' = A, (7' — 7)^ = P>, q<[ — C Les deux premières donnent

substituant ces valeurs dans la troisième, on obtient

ou p* f 2A/,4 -f- (A- - - 4C)/>2 — B2 0,

et en posant //- s,

s3 + 2As2 |- (A- — 4C) s — B2 0. (10)

Telle est la réduite ou la résolvante de l'équation (7). Elle admet au moins une racine réelle de signe contraire à celui du dernier terme: donc p a au moins une valeur réelle.