Application. > 4 — 10a2 — 9x

On trouve

d'où 27' - p2 10 - ° . 27 - p2 — 10 -f- - •

La résolvante est donc

p.-.io-D^-io+D^s,

ou ~3 — 20;': -\- 108s — 81 = 0.

On trouve facilement la racine z — 9. Prenons /) = 3; alors

2tf' = — 4, 27 - 2.

L'équation proposée est ramenée aux deux équations dn

second degré

x~ — 3a? — 2 = 0, a?2 |- :ir \ \ = 0; les racines cherchées sont donc

3 ± Vit — 3 t \/5

235. Remarques. — I. On voit facilemenl pourquoi la résolvante est du troisième degré. En effet, soient a, |3, y, o les racines de l'équation proposée; comme l'équation x2 |- />.v -f- q 0 doit donner deux de ces racines, /) peut avoir Tune des six valeurs

A cause de a -|- 3 \~ y -[- a = 0, ces valeurs sont, deux à deux, égales et de signes contraires; donc l'équation en /> est du 6e degré et ne renferme que des puissances paires de />.

II. On peut exprimer a, 3, y, S en fonction des racines zx, s2, ^;, de la résolvante (10). En effet, supposons

ajoutant ces égalités et tenant compte de la relation a -f- (3 -| -y J-o 03 on obtient

2« = ± v*; ± \iiz ± \jy3. (12)

Comme a est l'une quelconque des racines, la formule (12) doit donner les quatre racines, pourvu que l'on choisisse convenablement les signes des radicaux. Or, le dernier terme de la résolvante est — B2 ; donc cette résolvante convient aussi à l'équation x4 -\- A.v2 — Bx | C = 0 (*).

Pour voir quels sont les signes à attribuer aux radicaux dans les égalités (11), cherchons le produit (a -f- p) (« -|- y) (a -f 8) ; en effectuant les calculs, on trouve

(*j C'est la transformée en — .y, qui admet évidemment les mêmes valeurs de /> et dont les quatre racines sont également comprises dans la formule (12).

A cause do a ~|- p -\- y -f- o == 0, ce produit se réduit à apr 4. ay8 4. aps 4. pYS = — B.

Donc, si B est positif dans l'équation (7), on prend, dans les égalités (11), l'une des combinaisons

et d'après l'équation (12), les racines de (7) seront

+ \Zzx — \/zt -f /*, , + V-zY + i/*2 — i/*3 . Si B est négatif, les racines seront

~f- /*, -f k'j, + l/*3 , /*, — /*, — )/zZy — /*, + /*, — ^3 . — ^1 — ^*£ + ^3'

Ces développements supposent les valeurs de zlt zz< z3 positives.

Exercices et notes.

J. L'équation .v'! -\- px -\~q = 0 a une seule racine de signe contraire à celui de son dernier terme. Pour calculer cette racine, on peut se servir

de la formule x — > , • Si a est un nombre de même signe que — q et

tel, que a2 -\-p soit j>ositif, la racine est comprise entre a et aj = , ., /

Soit Z> un nombre intermédiaire entre a et at : la racine est comprise entre

b et A, = — i-s--i ■ Et ainsi de suite.

2. Soit .v3 — />.v — </--0 une équation rentrant dans le cas irréductible. Deux des racines sont les limites des expressions indéfinies.

\Ip + ± \Ip- q

La troisième a pour valeurs de plus en plus approchées :

:?. Résoudre l'équation

À0X3 | ;!A,,ri3A,r + A3^l). (D

on la ramonant à la forme

On trouve les conditions « + «'«À0, «? + *'?' S-An *p2 h*'?'2 =A2, *p» + «'§"= -A3. Eliminant a et a' entre trois de ces équations, on obtient

ou après suppression du facteur j3 — (3f,

A0PP, + Al(P + p') + A8 = 0l A,ppr + A8(p | p1) | A,«0. (2)

Ces égalités font connaître fi -\- ri' et pjj' ; on peut doue former l'équation du second degré ayant pour racines 8 et j3' :

^—^(3 i pr) |^f =Qi (3j

Si l'on élimine 33', 3 |- 3' entre les égalités (2) et (3), on trouve

Qf2 P

Ao A 3 - .>• a?2

équation qui peut remplacer (3). En ajoutant à la 3e colonne la 2e multipliée par a-, et à la 2e colonne la T'e multipliée par x, on obtient

AnA' ■ p Ai A. i .2? — |— A,) A,.r -f A2 A2# -|- A 3

Si l'on introduit la variable d'homogénéité y, le dernier déterminant est

F' a-, j'j désignant A0a-3 | -3A1AJ2y-{-3A2;Y%)r2 + A3y3 ; on l'appelle le hessien de Fi a% y).

4. Résoudre l'équation du troisième degré par les fonctions symétriques.

Méthode de Lagrange.)

Soient xu x,, A:i les racines. La fonction X\ -f- A.v.> + Bx$ prend six valeurs quand on y permute x*i, ,v., x3 de toutes les façons. Soient

u = ccl -)- A.r2 | Ba'3, ux = x., -j- A.r3 -f- B>r15 u2 = x% \ A.v, -f- B.r2, v = a?! -f- AiT3 | B.r2, ^j = o?2 I \i\ -f- B<r3, tf2 = .r-j -f- Aa\2 -f- B.r,

ces valeurs. Elles dépendent d'une équation du 6e degré, qu'on sait résoudre quand elle est s6 — ms& -{- n -0. Les racines d'une telle équation étant de

de la forme À, ) 6, À0:, ;J-, [xB, ixO"2, on est conduit à choisir A et B de manière que «j = «0, 112 = h62 ; on trouve A = 8*, B =0. Pour ces valeurs, si Ton suppose y- — v, on a v.> ~ vO, ni — wô'2. Les valeurs de m et ;t sont,

m = w3 4 v3 = (a?j + 02a\2 -h 8a?3)3 + (a?, + 62a?3 4 0a?2 3, n = ît3w3 = (a?i + r~x2 4 6a73)3(a?i + e*a?3 -f Oay:î.

En tenant compte des égalités 03 = 1, 0 4 1 = — 0'2, on trouve

m = 2-3.r1 — 9Sar1Sa71a;2 4 27a?1a\2a,3, n = (^'zx1 — 31a* j a V'"*

Finalement a-j, x2, -v3 se déduisent des équations

a1! -J- a*.> -j- a:3 = — -* — » a?j 4 û2#2 ~4~~ ^3 = M> **i + ^2 H~ ^2a73 r== r- Ao

5. Résoudre, par la trigonométrie, l'équation x3 -\-px -\- q — 0, dans le cas où une seule racine est réelle.

Si p< 0,on ]>ose x =X (tg ^-f-cotg cp), X et « étant deux indéterminées De là, l'équation

a;3 X3(tg3 œ -f cotg3 » 4 3 tg cp 4- 3 cotg cp,

ou a-3 — 3k~x — X3(tg3 cp -f- cotg3cp) = 0,

qu'on peut identifier avec la proposée. Les racines imaginaires sont

Si /> > 0, on fait x - X(tg cp — cotg cp).