Si A.-), x.y, x3, x4 sont les racines de l'équation

x4 -j- «#3 4 bx~ 4 ca? 4-^ — 0, les racines de la résolvante de Descartes (233) ont pour expressions

- ., (,ri 1 x-i "~ x% "~ a,4)> àz - [pol 4 a'g — x.2 x4),

-*- ô V^l "T" #4 ' ,r2 .XZ)'

Car. on ramène l'équation à la forme x4 4 -^*2 4 Ba; 4 C = 0 en diminuant les racines de X.vj ; une racine de la résolvante est, par exemple,

— (^1 — 7 2a?! ) — (a?2 — - Sajj), etc. 7. Résoudre l'équation

XA 4 />.r:; 4 «y.r- 4 ra: 4 s = 0 1

par extraction de racine carrée. 'Méthode de Ferrari.)

Cette équation, écrite sous la forme

•> i P V P x~ + ôx) = \ i - V I *«-*•* — *, (2)

est résoluble immédiatement si r2 — s(4q — />2). Dans le eus général, on ajoute aux deux membres 2 ( a? | - ^ .v \y f- y*, ce qui donne

•' J h .> ■<* • f- P) ={-A —<i + 2// a;2 | ( py - r)a? + y2 - s. (3)

Déterminons y par la condition que le second membre de (3) soit un carré parfait; on aura une résolvante du 3(> degré en y.

Remarque. — L'équation (3) se ramène à

Soient X\ et .v., ou .vy et a\4 les racines de (4) suivant que l'on prend le signe 4- ou le signe — devant le second membre; ce sont les racines de(l). On aura

py — r , py — r

d'où y == 0 (\'i x.2 { aja-4). Cette valeur de y prend trois valeurs distinctes

si l'on y permute x\, x>, a*3, a-4 de toutes les laçons; donc r est donné par une équation du 3e degré.

s. Résoudre l'équation

par les fonctions symétriques. (Méthode de Lagrange.

10 On forme l'équation auxiliaire qui a pour racines

y 1 == •Jf'i«/£*2 •^•>3'^,,i? //■„> 3?i#?g ~~~ ^g.^4» //:» == ■' V^'4 ~ ' ^2*^3 î

les quantités yx \ - y.> -\- y3, yiy., + r.O's f Jsr 1 > TiX-zX^ se déterminent aisément en fonction de p, q, r, s.

11 suffit <le connaître une seule racine j-x de la résolvante. Car les produits A! a-.., a^a-4 résultent de

on déduit ensuite les sommes x ] -f a*.m ^3+ -v4 (l°s égalités («1 + œ%) + (*s + ^4) = - ^ ^3**4(^1 + #2) "f ''V'V''';; ! ^4) ; Li-

2° On l'orme l'équation auxiliaire qui a pour racines [xx 4- x.z — x3 — a\J-, (a?, }-- x3 — x2 — #4)2, (a^ + m4 — a?2 — a;8)3.