Déterminants du 2e et du 3e ordre. - - On a
à. 2 b.z Pour développer le déterminant
a{b2 — a2bl .
on forme le tableau
bx cl a , X X / b2 c2 a2 b2
Les termes positifs du déterminant correspondent à trois droites parallèles à la première diagonale du déterminant, et les termes négatifs à trois droites parallèles à la seconde diagonale, de sorte que le développement cherché est
alb2c3 -|- blc2a3 -f- cla2b3 — clb2a3 — ^\C2b3— bla2c3.
Cette règle est connue sous le nom de règle de Sarrus.
Propriétés élémentaires des déterminants.
39. Théorème. — Un déterminant ne change pas quand on écrit les lignes pour les colonnes et réciproquement.
Appelons D et D' les déterminants
il.-) î Cl.t o
in
'ni
tn
Cl y,
il faut démontrer que D = D'. Or, on passe de D à D' en transposant les deux indices de chaque élément. Donc au terme
du développement de D correspond, dans le développement de D', le terme
T == ej. «y, \ay.2z • - • cu(nn'
Mais T' est aussi un terme de D. On en conclut que les deux déterminants sont identiques terme à terme.
Remarque. — On dit que D' est le déterminant D transposé.
40. Théorème. - Lorsqu'on transpose deux rangées parallèles, le déterminant change seulement de signe.
Appelons D et D' les déterminants
ttqi 6ïq2
qn
ciqi aqU ... ce
(Jn
Cl pi ^p-2 ••« ^jm
qui ne diffèrent que par l'échange des lignes de rangs p et q.
On passe du développement de D à celui de D' en transposant p et q dans la série des premiers indices de chaque terme, de sorte qu'au terme
T = e.aîYiajY2 ... aVyp ... cirfrL ... «nyn
de D correspond, dans T)', le terme
T = s.ap^aoy., ••• aqyp ••• %yq ••• #nyn-
Mais T' fait partie de D avec le signe opposé, car la permutation formée par les premiers indices de T a changé de classe et celle des seconds indices est restée la même. Ainsi, D et D' sont composés des mêmes termes avec des signes opposés ; par suite D' = -D.
41. Corollaire. — Si Von permute les lignes d'un déterminant entre elles, et les colonnes entre elles, le déterminant obtenu sera égal au premier ou nen diffère que par le signe.
En effet, on peut passer du déterminant primitif au nouveau déterminant par des transpositions de deux rangées parallèles. Donc les deux déterminants sont égaux entre eux ou ne diffèrent que par le signe, suivant que le nombre des transpositions est pair ou impair.
Par exemple
bc, c0
