SÉPARATION DES RACINES

237. Emploi du théorème de Sturm. — Lorsqu'on sait trouver les racines de l'équation dérivée F'(x) = 0, le théorème de Ivolle donne une méthode pour séparer les racines de P(;v)= 0(197).

Le théorème de Sturm permet également de séparer les racines; mais les calculs sont pénibles. On remplace, dans la suite de Sturm, x par — oo, 0, -|-oo; le nombre des variations de cette suite l'ait connaître le nombre des racines négatives et celui des racines positives de l'équation proposée. Pour déterminer les racines positives, substituons à a*, dans la suite de Sturm, les nombres 0, 1, 10, 100, ... jusqu'à ce qu'on atteigne la limite supérieure des racines positives; nous saurons ainsi combien l'équation a de racines dans les intervalles (0, 1), (1, 1 0» , (10, 10)), .... Substituons ensuite à x les nombres entiers consécutifs, compris dans les intervalles utiles. Si les nombres a et a | 1 comprennent une ou plusieurs racines, remplaçons, dans

la suite de Sturm, x par a, u f- , > a -{- .-. < etc. Et ainsi de suite.

Nous arrivons ainsi à trouver deux nombres décimaux avant

une différence aussi petite qu'on veut, e1 comprenant une seule, racine.

238. Méthode par substitutions successives. — Elle est plus simple que la précédente, mais imparfaite. 11 suffit de nous occuper des racines positives, les racines négatives étant les racines positives de F(— x). Substituons, dans F(x), kx des nombres compris entre 0 et la limite L des racines positives; si cette limite est quelque peu grande, on commence par les

nombres 0, 1, 10, 100 Lorsque deux résultats consécutifs

de substitution sont de signes contraires, les valeurs correspondantes de x comprennent un nombre impair de racines de F(x). Il peut arriver que le nombre de ces intervalles où l'existence d'une racine est certaine, soit égal à la limite supérieure assignée par le théorème de Descartes au nombre des racines positives; dans ce cas, les racines sont séparées. Mais généralement il n'en est pas ainsi ; alors on subdivise les intervalles, ou bien l'on a recours à d'autres procédés (l'étude de la dérivée, l'emploi du théorème de Rolle, etc.).

Un perfectionnement important de cette méthode est dû à Lagrange. Il

consiste à déterminer une limite inférieure s du module de la différence

de deux racines de F(œ) = 0; cette quantité o s'obtient au moyen de l'équation aux carres des différences des racines de F(a?) = 0 (180). Si l'on remplace a? par des nombres en progression arithmétique de raison v, deux

termes consécutifs de cette progression ne peuvent comprendre plus d'une racine de 1m. /•)=(); par suite, s'ils en comprennent une, les résultats de substitution correspondants sont de signes contraires. En multipliant les racines de V(oc) = 0 par o, on obtient une équation dont deux racines n'ont jamais la même partie entière; il suffit maintenant de substituer kx des nombres entiers consécutifs, pour trouver des intervalles comprenant une racine de la transformée.