Exemples
Le théorème de Descartes montre que l'équation a une seule racine positive et une seule racine négative. La règle de
Lagrange donne L — l'-|- ylO ou 4, L' = 1 + V10 ou 3. On trouve, pour
Neuberg. — Algèbre. i5
Il résulte de là que la racine positive est comprise entre 2 et 3, la racine négative entre — 1 et — 2.
L'équation a deux variations, donc elle peut avoir deux racines positives. Elle n'a pas de racine négative.
En groupant ainsi : x(x* — 65) 4 x2 4 5 = 0, on trouve L = \6b, soit L -h 5. Ensuite, pour
P(ûï) = 5, — 58, — 105, — 100, 17.
Les racines sont séparées : il y en a une entre 0 et 1, une seconde entre 3 et 4.
D'après le théorème de Descartes, l'équation a deux racines
positives ou n'en a pas ; elle a une racine négative.
En groupant ainsi : x(x2 -f- Sx — 17) f- 5, on voit que
m) (ou 3) est une limite supérieure des racines. De
on déduit L' = 6. Formons maintenant le tableau :
nous en concluons l'existence d'une racine dans chacun des intervalles
Déterminons la dernière de ces racines à moins d'un dixième près. A cet effet, nous pourrions substituer, dans F'v.v), à x les nombres 2, 2,1, 2,2, ... jusqu'à ce que deux résultats consécutifs soient de signes contraires. Pour diminuer ces essais, nous taisons une interpolation par parties proportionnelles, ce qui revient à admettre que les accroissements de F(x) sont proportionnels à ceux de x, tant que oc varie entre des limites assez
rapprochées. On a trouvé F (2) - - — 9, F(3) = 8;si2 | x est la racine, on a F(2 -f- a) = 0. De là, la proportion
donc approximativement a= 1»
Ainsi, la racine est sensiblement 2 17 ou 2.6. Comme
F 2, Oj = — 1,344 et F (3) = 8, la racine est comprise entre 2, 6 et 3; enfin, de F(2, 7) = -h 0,653 on déduit qu'elle est comprise entre 2,6 et 2,7.
4° oçz — Ix + 7 = 0'.
Cette équation a une racine négative; elle peut avoir deux racines positives. En écrivant x(x2 — 7) |- 7, on trouve L == i/7 et de — F(— x) = x3 — 7x — 7, on déduit V = 1 -f i/7 ou 4.
Ensuite, pour
La racine négative est séparée. Quant aux racines positives, les substitutions ne nous apprennent rien. Cependant (206)
de sorte que les trois racines sont réelles. Il faut conclure de là que deux racines positives tombent dans le même intervalle. Ces racines comprennent une racine de l'équation dérivée
F'(.v) = Sx2 — 7 = 0; la racine x = -f \A de la dérivée étant
comprise entre 1 et 2, les racines de F(x) = 0 appartiennent à
l'intervalle (1, 2), et l'une d'elles est comprise entre 1 et V »
la seconde entre V/;, et 2.
Déterminons ces racines à moins d'un dixième près. Comme
deux interpolations par parties proportionnelles conduisent aux valeurs approchées 1,3 et 1,7. On trouve ensuite
de sorte que les racines cherchées sont, à moins d'un dixième près par défaut, 1,3 et 1,0.
5° oc3 — 2x- -\-5x — 7 = 0.
L'équation n'a pas de racine négative; elle peut avoir une ou trois racines positives. La méthode par groupement des termes donne L = 2. Formons le tableau
Il en résulte qu'il existe au moins une racine dans l'intervalle (1,2); mais on peut aussi supposer soit deux autres racines réelles dans l'intervalle (1, 2) ou dans l'intervalle (0, 1), soit deux racines imaginaires. Considérons la dérivée
Ses racines étant imaginaires, F'(.v) esl» constamment positive, F (x) constamment croissante; donc l'équation F(x) = 0 a une seule racine réelle, appartenant à l'intervalle (1,2).
Calcul des racines.
240. Méthode de Newton. — Supposons qu'on ait déterminé une racine de F(x) = 0 avec une certaine approximation, par
exemple à moins de --- près. Soient a la valeur approchée,
a -f- /? la valeur exacte de la racine; h sera le terme de correction. On doit avoir
F(« + h) = F(a) ! hF'io) + y.} F» -\- ... = 0.
Si la quantité h est suffisamment petite, les termes en h-, 7i3, .. seront généralement négligeables et l'on aura sensiblement
F(a) + h¥\a) = 0, ou h^-^y
De là, la règle écrivante formulée par Newton : Si a est une valeur approchée d'une racine de F(x) = 0, on obtient généralement une valeur plus approchée en ajoutant à
a la (junnlile — ,
On admet généralement que la méthode de Newton double le
nombre des chiffres décimaux que renferme le nombre a ; soil
hx le quotient ainsi déterminé et posons a, = a |- /?,. On peut
maintenant opérer sur a{ comme tantôt sur a, et doubler le
nombre des chiffres décimaux exacts de la racine. Et ainsi de
suite.
241. Interprétation géométrique. — L'équation y = F(x) représente une certaine courbe AB (fig\ 13); une racine de Fig. i3. Fig-. i4-
l'équation F(v) = 0 est l'abscisse du point B où cette courbe coupe OX; une valeur approchée a = OP correspond à un certain point A de la courbe. Menons la tangente en A, qui rencontre OX en C : la méthode de Newton revient à remplacer OH par OC, c'est-à-dire l'arc AB par la tangente AC.
En effet, l'équation de la tangente au point A(a, F(a)) est
d'où la sous-tangente X — a
T1, ; PC est donc le terme
de correction de Newton.
Cette interprétation géométrique montre que la correction de Newton peut éloigner plus de la racine cherchée que la valeur a (fig. 14), et même donner une valeur s'éloignant plus de cette racine que a et dans le même sens.
242. Cas où la méthode de Newton peut être appliquée avec certitude. — Soient a et /; > a deux nombres comprenant
une racine de Fix) = 0. Cette racine étant désignée par a \- h ou par b — k, où 7ï et k sont des nombres positifs moindres que b — a, on a
P(a + A) = P(a) + *F'(a) -f /' 2 F» + - = 0, F(ô + *) = F(ô) - AF'(&) + j™ F"(b) - ... = 0.
On admet, sans démonstration, que ces égalités se réduisent sensiblement à
F(rt) + h¥'[a) = 0, F(b) - AF'(Ô) = 0 ;
de sorte qu'approximativement,
Il résulte de là que, si h est négatif, on ne peut réduire l'équation F(a -f- h) — 0 à F(a) + £F'(a) = 0; de même la valeur de k est inadmissible si elle est négative. Il faut aussi rejeter les valeurs (1) si elles sont supérieures à la différence b — a.
La méthode de Newton présente donc une grande incertitude. Voici un cas assez étendu où elle peut être appliquée sans mécompte.
On connaît deux nombres a et b qui comprennent une racine, et une seule, de F(x). Sur la courbe y = F(x), il correspond aux abscisses OA' == a, OB' = b deux points A, B situés de part et d'autre de OX, car F(a) et ¥(b) sont de signes contraires. Supposons que l'arc AB ne présente ni point maximum ni point minimum ni point d'inflexion. Alors la dérivée F'(x) ne s'annule pas dans l'intervalle (a, b) et va constamment en croissant ou en décroissant. La figure peut présenter quatre dispositions.
Dans la figure 15, l'arc AB est constamment concave vers le haut; le coefficient angulaire F'(x) de la tangente va en croissant, donc Fn(x) est positive. Si Ton applique la méthode de Newton à la valeur approchée b, on est sûr que la valeur de la racine qui en résulte est plus approchée que b; car la tangente en B passe entre la courbe et l'ordonnée BB', et OC approche plus de la valeur exacte ()1) de la racine que OB'.
Dans la figure 16, L'arc AB est constamment convexe vers le liant; comme F'(x) va en diminuant, Y"(x) est négative. La
Fig. i5.
Fi g". i(>.
AU
tangente en A passe entre l'ordonnée AA' et la courbe ADB ; donc si l'on remplace l'arc AD par la tangente AC, on obtient une valeur OC qui approche plus de la racine OD que OA' = a. De même, dans les cas représentés par les figures 17 et 18, il convient d'appliquer la méthode de Newton respectivement
Fig. /j.
Fig. 18.
aux valeurs approchées b et a; dans la figure 17, la dérivée F"(a*) est négative, et dans la figure 19 elle est positive pour les valeurs de x comprises entre a et b.
Dans les quatre cas, l'une des valeurs approchées a, b jouit de la propriété que, si on lui applique la méthode de Newton, la nouvelle valeur approche plus de la racine que la valeur d'où l'on part. Cette valeur est celle qui donne le même signe à F(x) et F"(x).
Pour fixer les idées, considérons la figure 15. Nous appliquons la méthode de Newton à la valeur approchée b; la
nouvelle valeur approchée sera b] = b — p, = OC. On peut
évaluer Terreur que l'on commet en prenant bï pour la racine
cherchée. Menons la corde AI> qui coupe OX en E; OD est compris entre OE et OC. Donc l'erreur commise en adoptant OC pour OD, est moindre que EC = OC — OE. OE est la valeur résultant d'une interpolation par parties proportionnelles, car A'E A 'A
Soit CF l'ordonnée élevée en C; menons la tangente FI. Si l'on applique une seconde fois la méthode de Newton à la valeur OC qui est donnée par une première application de cette méthode, on trouve 01 pour valeur de la racine cherchée. On voit que la règle étant appliquée plusieurs fois de suite dans les conditions indiquées, on approche de plus en plus de la racine.
