Exemple. ^ — 2x
Cherchons la racine positive (unique) de cette équation. Une limite est L = 1 -\- vh on 4. Formons le tableau
on voit que la racine est comprise entre 2 et 3, et est sensiblement égale à 2 ^- Or F(2, 1) = 0,061 ; donc la racine est comprise entre 2 et 2,1.
On a
Y\oc) = 3x~ - 2, F"(.r) = Gr.
F'(x) a un signe constant dans l'intervalle (2, 2, 1) et F"(x) a le même signe que F(x) pour x = 2, 1. Donc on peut appliquer avec certitude la méthode de Newton en partant de la valeur approchée 2, 1 .
Le terme de correction de Newton étant
la valeur approchée correspondante est 2,1 - 0,00543... =2,09456... Soit 2,1 — A' la valeur résultant d'une interpolation par parties proportionnelles entre 2 et 2,1 ; on aura
d'où la valeur approchée
2, 1 - - Y wi = - l " 0,00574 •■■ - 2,09125 . .
La valeur exacte de la racine cherchée est comprise entre les valeurs approchées 2,09456 .. et 2,09425 que donnent la méthode de Newton et l'interpolation par parties proportionnelles. La première valeur 2,09456'... comporte donc une erreur moindre que la différence entre les deux valeurs ou moindre que 0,0003....
Appliquons une seconde fois la méthode de Newton, en partant de la valeur approchée <•/ = 2,094 ; le terme de correction est
"~T7l/ i^n rrno = 0,000oo...
r (a) 11, Io4o08
D'où la seconde valeur approchée 2,094 —0,00055... = 2,09445. Et ainsi de suite.
244. Méthode de Lagrange. — Soient a, a |- 1 deux nombres entiers consécutifs qui comprennent une seule racine de l'équation F(x) = 0. Désignons cette racine par x = a -f- > ; a, est un
nombre supérieur à l'unité, donné par l'équation F(a -j- 1=0,
ou F^a'j) = 0. Celle-ci ayant une seule racine plus grande que 1, la substitution des nombres 1,2, 3, ... dans F,^) fait connaître la partie entière de x1; si F^aJ et F^a, + 1) sont de signes
contraires, nous poserons a', = a: + ' etc. La racine se pré-
sente donc sous la forme
Supposons maintenant que les nombres a, a \- 1 comprennent deux racines a, x'. L'équation F-^acJ = 0 aura deux racines plus grandes que l'unité. Si la substitution des nombres 1, 2, 3, ... dans F^A-'i) l'ait reconnaître que A", a une valeur comprise entre ci ! et a, h 1, une autre entre n\ et n\ -f- 1, on pose
«] I rt'l [ I
,v2 et x'.-, étant respectivement la seule racine supérieure à l'unité des équations
Le calcul se continue sur chacune de ces équations comme ci-dessus. Si l'équation FY(x) = 0 a deux racines comprises entre
a, et ax -f- 1, l'équation FJ ax -\ — =- ) =0 aura deux racines supé-
rieures à l'unité. Les racines finiront par se séparer. Supposons qu'en substituant dans F(x) les nombres
on trouve deux fois des résultats consécutifs de signes contraires, de manière à séparer les racines x, x'. Dans ce cas, multiplions les racines de F(x) = 0 par n ; les produits nx, nx' n'auront pas même partie entière et l'on pourra opérer comme dans le premier cas.
Ces développements suffisent pour donner une idée de la méthode de Lagrange.
Exercices et notes.
