DECOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

Préliminaires.

245. Lue fraction ;,' { est dite rationnelle, lorsque ses deux

termes sont des fonctions entières. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, la fraction irréductible et le numérateur d'un degré inférieur an degré du dénominateur. Si f(x) était d'un degré égal ou supérieur, on diviserait f\x) par F(x), et l'on

mettrait la fraction proposée sous la forme Q 4- i}7 > Q étant

un polynôme entier et v(x) étant d'un degré moindre que F(x).

Nous nommerons fractions simples les fractions de la forme

A A A^+B Aa? + B

A, 1), a, a, [3 étant des constantes, et n étant un nombre entier positif.

Toute fraction rationnelle peut se décomposer en une somme de fractions simples. Pour établir cette proposition, nous considérons séparément le cas où le dénominateur de la fraction n'a que des facteurs premiers inégaux, et celui où il admet des facteurs multiples. Nous montrerons ensuite comment il convient de modifier la décomposition, lorsque l'équation ¥(x) =0 a des racines imaginaires.

Cas des facteurs inégaux.

246. Méthode des coefficients indéterminés. — Soient n, b, c, ..., / les m racines, supposées distinctes, de ¥[x). On peut toujours déterminer des constantes A, B, C, ..., L telles, que Ton ait identiquement

Fi'-) x — a [ x — /> a? — c x — l

En effet, cette égalité donne

en égard à l'identité F(x) = (x — a) (# — [)) ... (x — /).

Le second membre se ramène à un polynôme de degré ni — 1 ; par hypothèse, f(x) est au plus de ce degré. Si donc on égale les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de (I), on aura m équations du premier degré, entre les 77? inconnues A, B, ... L.

11 reste à démontrer que ces équations forment un système compatible et déterminé. La méthode suivante nous dispense d'examiner le système ; elle fournit aussi un procédé très simple pour déterminer directement chaque inconnue.

247. Calcul des numérateurs. — Les deux membres de (1) doivent être identiques; donc ils ont la même valeur pour x = a, et

d'où Ton tire pour A une valeur finie et déterminée. On trouve de même 1> en remplaçant x par b, 0 en remplaçant x par e, etc.

Portons ces valeurs de A, B, ... L dans l'égalité (1). Les deux membres prendront des valeurs égales pour les ni valeurs v <•/,/;...,/; comme ils sont au plus de degré m — 1, ils sont identiques (121).