Forme de la décomposition. — Supposons que le

dénominateur F(x) soit de là forme (x — a)7Ft(.v), F,(ar) étant une fonction entière qui ne contient pas le facteur x — a. Nous avons identiquement

'(.r w)aF1(.r) "" (07— a)« ' (#— a^F^a?) '

car si l'on fait la différence des deux lres fractions, on trouve la 3''. Déterminons Aa par la condition que le numérateur de la dernière fraction soit divisible par x — a ou s'annule pour x = a ; nous aurons

valeur finie et déterminée, puisque /(a) ^ 0 et Fx(a) ^= 0.

Divisons /"(a:) — AaF^ac) par x—a; soit /\(.v) le quotient, L'égalité (5) prend la forme

M Aa /;w

(a- ft)aF](iT) " (# â)a -r ^^a-iFi(iTj

Donc, la fraction proposée est décômposable en une fraction

simule de la forme -, > c/ c/i »/ie nouvelle fraction ration-

nè//e Jo7i£ /e dénominateur lie renferme j)lus que la puissance (a — 1) du facteur (x — a).

Raisonnant sur celle-ci comme sur la fraction primitive, on obtient :

J\(x) Aa-i . /ëO)

(pu—-a)7^-lF1(œ) {oc-a)*~L ~*~ [oc — d)*-*F\{a;)'

ft(a>) Aa 2 , /ifaO

(oî— a)*-*F,(aî) (i— a)a~2 (a? — «)a "^(a?) '

(.r — fl)F j (a?) a? — a F , (.r ) Par suite,

fipe) Aa . Aa-i. . A, /a(.r)

Si F^x) [x bfF2(x), on trouve, de la munie manière,

Im.<\)

(<r~ft)P (a?— ô)P !

Et ainsi de suite.