Théorème. — Une fraction rationnelle ,x > dont le

dénominateur est égal à (x — a)a (x — by? ... (x — /)X, es/ décomposable en cléments simples selon la formule

F(x) x — a [x — ajl {x — a)7-

x — b (x—by (x — by +

Lj L2

07 l (x if

(X - if

et cette décomposition nest possible que d'une seule manière. La première partie de la proposition a déjà été démontrée (250 > Pour établir la seconde, observons d'abord que toute décomposition de Q. v en éléments simples ne peut comprendre que

des fractions ayant pour dénominateur l'une des puissances de x — a, a* — b, ..., x — /. Car, si une décomposition comprenait

N' + lN'4 +...+ J*ï- ■

ou ;i serait différent de a, b, ..., /, on pourrait réduire la somme

N (A) en une seule fraction de la forme ..> N désignant un

v ; [x — nf °

polynôme au plus de degré v — 1 ; d'après cette décomposition,

I \ v ) ; aurait une valeur infinie pour X — n, ce qui exige que Vix)

\* > f(x) est de degré moindre que F .< .

renferme le l'acteur x — n. Supposons ensuite qu'il existe la décomposition (6) et une seconde décomposition

x — a (oc — et)2

Je dis que a — a', A == A' i. Eu effet, si a > a', égalons les deux décompositions après les avoir multipliées par (x — a)a ;

il vient

Al{x-<a)*-l + Aft(œ-a)*-l + .: ]-A^\-(x-aA %+.•. I

= {X—a)a-*l\\(x- ar 1+ ... fA'.]4-(^fl)

Cette égalité est impossible ; car le premier membre, pour iV = a, se réduit à A , tandis que le second devient nul. On démontre de même qu'on ne peut avoir a' > a. Si, dans l'égalité (7), on suppose a = a', et qu'on fasse x = a, on trouve

Supprimons maintenant dans les deux décompositions la frac-

tiou commune ; les restes étant égaux, on voit, en rai-

sonnant comme tantôt, que A 2 = A' v Et ainsi de suite.

252. Calcul des numérateurs. — Pour déterminer les numérateurs Aa, A j., ..., A,, on peut suivre la marche indiquée au § 250 ou employer la méthode des coefficients indéterminés. Le procédé suivant est préférable lorsque a est quelque peu grand.

Posons

x — te F^a?)

[x - - a)al\(x) (x — df [x — rt)a"L nous aurons l'identité

+ Al(oer-a)*-lF1(œ)+ (x — a)af^x). (9

Si l'on y l'ait .v = a, on trouve /(a) = A F^a); A es1 doue

connu. En dérivant les deux membres de (9) par rapport à x, ou obtient

f(x) = AaP'1(«) + Aa-1-FI(a;j + Aa Y(x - a)F\(œ) + .. / (10)

égalité qui, pour x = a, se réduit à

f{a) knF\(a) | Ha-iF^a);

on en conclut Aa i. Dérivant ensuite les deux membres de (10) et faisant x — a, on trouve Aa:. On continue ainsi jusqu'à la dérivée d'ordre a — 1. Dans ces calculs, on peut négliger les dérivées du dernier terme de (0) ; car elles s'annulent pour x = a.

253. Voici une autre méthode. Multiplions les deux membres de l'égalité (8) par (x — a)a :

et remplaçons a* — a par /? :

f(a±h) liJfrj[a \ h)

Fla+Â)- a+ a^ H aV +-.+AlA« + Pi(a + A) •

D'autre part, développons /'(a | /?) et Ft(a + ^) suivant les puissances croissantes dc/z, et effectuons la division du premier polynôme par le second jusqu'à ce qu'on trouve au quotient un terme en /ia 1 ; le quotient complet de la division est de la forme

Qo + Ql, + Q^ + ... + Qa^-. + F^gL.

Les nombres Q0, Qlf Q2, ..., Qa t sont les valeurs cherchées de Aa, Aa lf ..., AP