Facteurs imaginaires simples. — Dans ce qui précède

les racines de ¥(x) peuvent être réelles ou imaginaires. Si les coefficients de f(x) etF(je)sont réels, les racines imaginaires de

F(x) sont conjuguées deux à deux et on peut modifier la déconi

• • i l\x) i position de j^- de manière que les imaginaires en disparaissent.

Soit % | pi une racine simple de F{x); la décomposition de

; - comprend une partie de la l'orme

On sait (248) que

Si l'on réduit A à la l'orme ;j. + vi, la valeur de B sera u. —n et l'expression (18) devient

a? a — p^ 'h tr — a + pî = = (.r — a)2 + p2 '

Donc, /a somme des fractions simples correspondant aux facteurs conjugués x — a — pi, x — a -f pi es* mie fraction qui a pour numérateur un binôme du premier degré, à coefficients réels, et pour dénominateur (x - a)2 \- p2.

256. Facteurs imaginaires multiples. — Si % -f- pi est » fois racine de F(x), a — 3/ est également p fois racine, et

F(x) = | (a?.— a)2 -f p^PP^a?).

On a identiquement

A*0 A* -f- B /*(*) - (A* + BjF^) n

l(a? — «)* + p^PF^a?) [(a? — a)2+p2]P ' [(a? — «)• + P'pp^a?)

Déterminons A et Ç par la condition que f(x) — (A.v -\- B)FL(#) soit divisible par (.v — a)2 -f p2. Si f{(x) est le quotient et R.v -f- S le reste, nous posons ït = 0, S = 0; ces équations détermineront les valeurs de A et B. L'égalité (14) devient

f(œ\ Aa? + B /;(.r)

[(a? — a)2 -f-P8]pFi(«) = L(«— " «)2+» l> — «)2+ P,"]p-TF,

Opérons de la même manière sur la dernière fraction :

[(a7-a;2-r-p2]P »Fl(a?) [(a?— a)2 -f- p2]P-< "•" [(aj«)t+pi]p -^i

Et ainsi de suite. En résumé, on trouve la décomposition

f\x) kœ-\ B A^ 4- Bj

F(œ) = = [(x — a)2+ PV [(* — a)2+ P2]p'-1

Ap i^ -h Bp i /pf^r)