Application. — Décomposer en fractions simples

Posons

ce2 4- a? 4- 1 A j B 4 Cx + D 1 Ex + F

il en résulte

a;2 4- x -\- 1 == k{x — 1) (.r2 -1- l)2 -f B(a? 4~ 1) (#* ~h l)2 j h (Cœ 4- Dj O2 — 1) 4- (E* 4- F) O2 — 1) O*2 + î). î Faisant successivement x = — 1, -J- 1, /, on obtient 1 = — 8A, 3 - 8B, i = — 2(0/ -|- D) ;

d'où A = — )> P> ^ C= — \, D = 0.

Dérivons les deux membres de (16) par rapport à x et remplaçons ensuite .v par i, Dans le calcul de la dérivée du second

membre, on peut, négliger les termes en .v | 1 cl écrire simplement

2.i-H-l = .. -r-0(.r~— 1) -\-2jc(Cx |- \)) \.-j.,-{\U f- F)(af- — 1) -f ..

On en tire E —, F - — }- La décomposition cherché* doue

Exercices et notes.

1 Si a, 6, c, ... /, désignent m nombres différents, et j\x) une fonction entière du degré m — 2 tout au plus, on a

(Euler.) On pose

d'où f{x) = 2A(# — 5) (.r - c) . . (x — l).

Identifiant les coefficients de .v1"-1, on trouve A -f- B \- ... L = 0. Mais i a (248) A^^petc.

En particulier, si p < m — 1,

(a — b) (a — c) . . (« — l) 2. Démontrer l'identité

/__ 1 u<-haz ••• an , (O] — ^i) («2 — V) ••• (?n — y

1 j blbz.:.b^bl{bl—b2) (bx—bz)". ".'[bi—bn) (a, — b2) (a2 - y ... (an ~ ^2) h{h'—\){h — h) ■■■ (** — *»)

On décompose en éléments simples la fraction

(.x' — #i) (a? — a2) ... [x — ~an) > (a? — 6L) (a? - &2) ... (a? — ôn)'

dans l'identité ainsi obtenue, on fait # = 0.

3. Les constantes A, B, C, a, b, c étant données, déterminer A]( B,, Cj de façon que l'expression

soit le carré d'une Traction rationnelle.

Identifier l'expression avec , 4- ) en décomposant