THEORIE DES DIFFERENCES

Différences des divers ordres.

259. Définitions. — Soit une suite quelconque de n \ l termes,

uQ, ult u2, ..., wn__lf i<n. (1)

On appelle différences premières ou différences du premier ordre des quantités (1), les différences obtenues en retranchant chacune de ces quantités de la suivante, et l'on pose

Aw„ = Ul — U0, AWj — W2 — Mj, Attn! = «n — uu | :

on obtient ainsi une deuxième suite :

Aw0> Aw,, Aw2, ... , A«n j. (2)

Opérant sur la suite (2i comme sur la suite (1), on forme une troisième suite que l'on représente par

A2^0, A2wl5 A2w2J ... , \2t(n 2, (3)

de sorte que

A2^() = Awj — Aw0, A2?*-, = Azé2 — A/cp ... , A2wn 2 = Awn i — Awn ...

Les quantités (3) sont les différences premières de la suite (2) et les différences deuxièmes de la suite donnée (1). De même, si l'on pose

\3K0 = à2ul— \2k0, &3ul=btut—~btuu ..., A3wn 3— A2^n 2— X2ifn 3,

on obtient la suite

des différences troisièmes des termes donnés. Ainsi de suite.

Les (n -f- 1) termes uQ, ult ..., un donnent lieu à n différences premières, à/i — 1 différences deuxièmes, etc., enfin aune seule différence de l'ordre /i, représentée par An«0.

260. Tableau des différences successives. — On adopte ordinairement l'une ou l'autre des deux dispositions suivantes :

u2, ic3

\/c0, Awj, àu2 A3w0, . . .

"n-2 Wn-1, Wn,

Aw.!2j A«.n. i,

. . ,, A2Wn 2,

A»-i|«0ï A»-iWl,

An?y

An-1

ht "o

An"o

àu1

ku2

A2et.2

AWg

Awn,

Les schémas suivants indiquent la formation de ces tableaux :

c = b — a, a — b — c, b — a \- c. Exemple. — Former le tableau des différences des quantités 5, 11, 19, 15, 4, — 2.

( >n trouve

ô, 8, -4, —IL,

-il, 5, 12,