Remarque. — Désignons par ï un tableau do différences
successives, pris sous la seconde forme; par T', le tableau qu'on déduit de T en supprimant les p premières lignes et les q premières colonnes. T' est encore un tableau do différences successives : sa seconde colonne renferme les différences premières des termes de sa première colonne, sa troisième colonne les différences deuxièmes des mêmes termes, et ainsi de suite. Les notations des deux tableaux T et T' deviennent identiques, si l'on ajoute p unités à l'indice de u et q unités à l'exposant de A dans chaque élément de T. Or, une formule écrite pour le tableau T doit s'appliquer aussi au tableau T', les éléments de T étant remplacés par leurs homologues de T'; par conséquent, une formule générale relative à un tableau de différences successives subsiste encore, lorsqu'on augmente tous les indices des u d'un entier quelconque p et tous les exposants des A d'un entier quelconque q.
Les éléments de la première colonne de T, c'est-à-dire u0, ult u3, ... sont censés être remplacés par A°«0, A°«,, A0//.,, ...
Cette remarque nous sera fort utile dans la suite.
Différences des fonctions entières.
Le calcul des différences est souvent appliqué aux valeurs successives u0, zz 1 , uz, ... que prend une fonction de x quand on donne à x des valeurs en progression arithmétique.
262. Théorème. — Si, dans un polynôme entier en x de degré m, on remplace x pur des nombres en progression arithmétique, les différences mes des résultats de substitution sont constantes.
Soit la l'onction F(x) = A0xm f Axxm -1 -\- ... -f- Am.
Désignons les quantités
F(x\ F(œ + h), F(x-\-2h}, ..., F(x + nh) par
Nous aurons, par le théorème de Taylor,
F(A. + /,) . F(^) Œ /lF'(.r) + , o F"(a>) -|- ... 4- -, Fi»'(a?)
//2 hm
comme les polynômes F '(a?), V"(x),... sont des degrés m — 1, m — 2, ..., Ajz0 s'exprime par un polynôme de degré m — 1, dont le terme de degré m — 1 est mA0Iixml ; ce ternie s'obtient donc en multipliant par h la dérivée du premier terme de F(x). En désignant F(x -f- h) — F(x) par F^a*), on a évidemment
A2w0 = F,(x + h) -Fx(x).
lr^.v) étant de degré m — 1, A2u0 est un polynôme entier de degré m — 2 dont le premier terme s'obtient en multipliant par h la dérivée du premier terme mA0hxm~l de Fi(.v); le premier ternie de A2;/() est donc m(m — ))A0h2xm~2. De même le premier ternie de A3/f0 est m(m — 1) (m — 2)A0h3xm~3, et ainsi de suite. Finalement,
&mu0 = m(m — 1) ... 2.l.A0hm,
valeur indépendante de .v ; ce qui démontre le théorème.
263. Application. — Substituer des nombres entiers consécutifs dans une fonction entière.
Four fixer les idées, nous cherchons les valeurs du polynôme
F(x) = 2.f:î — xz 4- 4a? 4- (.) pour ,v = — 4, — 3, .., 3, 4.
Le polynôme étant du 3e degré, les différences 3esdes valeurs qu'il prend pour des valeurs de x en progression arithmétique sont constantes, égales au produit de la dérivée troisième du terme initial de F(x) parle cube de la raison de la progression; ces différences ont doue pour valeur constante 12. Cherchons directement les résultats de substitution pour trois valeurs consécutives de .y; par exemple
Au moyen de ces nombres, il est facile de dresser le tableau suivant :
lu
On inscrit d'abord, dans la colonne u, les valeurs F( — 1) = 2, F(0) = 9, F(l) = 14; puis, dans la colonne A/z, leurs différences premières 7, 5; dans la colonne A'-jj, leur différence seconde - 2. Tous les nombres de la dernière colonne sont égaux à 12. Pour l'emplir les autres colonnes, ou a recours au schéma
10 '-f 12= 22, 22 4-12= 34, 14 — 12 = — 20, — 26 — 12 - — 38 etc
Formules des différences.
