Problème. I. — Connaissant le premier terme u0 dune
suite, ainsi que ses différences successives Au(), A2u, A"u(M
calculer les ternies u;, uz, ... uu.
D'après hi définition même des différences, on a
ux = u0 -f Aw0» A^i = Awo 4- A*t*0î (1)
puis, en ajoutant membre à membre,
w2 = w2 -h Aw, = ^0 -|- 2Aw0 + A2«0; (2)
et en augmentant d'une unité les exposants de A (261)
Aw8 = Ai*0 -f~ 2A2î<0 + A8m0.
Mais h2 -{- A^(l — zz3; donc
w3 --= u0 -\- 3Aw0 f- 3A2tt0 -j- A3%,
Sans aller plus loin, on prévoit la formule suivante :
un = u0 -h C^A^ -f CiA*if0 -|- •.. + CiAn-% + *X- (3)
Pour montrer qu'elle est générale, supposons-la établie pour la suite u0, ulf u2, ... un. Si nous introduisons un nouveau terme un\-i, nous pouvons appliquer la formule (3) à la suite Azj0, A«M ..., Afzn, ce qui donne
Awn == A«0 + CiA«Wo -f C-A«Mo -f .. -h O'A"^ -f A"+V (4)
Or «n-f-i = "n -f- Ah„; donc à cause de (3) et (4),
wn+1-«o + (Ck+l)^o + (C>4-C;i)A-X-f...-f(l hCi)A«u0 |-AM-i^:
en remarquant que Ci] -f- C'j-1 = G%+lt on voit que
Va h - «o f C.ll+1A»60 -}- C^A^o h . . 4- Ci+lAn»0 -f- A»+i«*0.
La loi est donc générale.
On peut écrire l'équation (3j sous la forme symbolique
wn = (1 h A)"Mof
eu convenant "de développer (1 f- -M" comme si A représentait un nombre.
265. Problème II. — Etant donnée ta suite u„, u,, ..., un, calculer les différences Au0, A-u0, ... , Anu0.
Par définition,
\uQ = W] — ff()j A/r, = w2 — ?.*,, A*«n = Aw — A<fc0; il en résulte
A*w0 = (w2 — wj - (w, — ic0) = w2 — 2**, j- k0-
Augmentant d'une unité les indices de // (261K <>n aura
AsWj == m3 - 2w2 I «i ; d'où, en retranchant A-/;,, de A-//,,
Ces résultats t'ont soupçonner la roi-mule générale
A*'^0 =«n — Cj^n-! -r-C>n-2-- ••• "f (— l)nW0 • (»)
Supposons-la établie pour les /* premières différences de zi0. Si l'on introduit un nouveau terme Hft+n ()n peut écrire en ajoutant une unité aux indices de u (261) :
A'V^ : Un+l - C>n + C*Wn, — ... -f- (~ 1)%.
Mais An Hh0 An^! — Anï/0; par conséquent
&+lu0 = un+i - (Ci -f 1H + (CJ -f CJ^n-, -...+(- l)'"H/,0
= Wn+i — Ci+1Mn -f- C2a+lUu\ ! — ... h (— 1)"H lW0.
Or la formule (5) est vérifiée par n — 1, 2, donc elle est vraie pour n = 3, 4, ... ; elle est donc générale.
On écrit la formule (5) symboliquement ainsi :
en convenant de remplacer uv par u[t et de prendre pour dernier terme du développement ( — \}nu0.
