Définition. - Supposons connues les valeurs
u0, ul9 ult ..., un d'une fonction u, correspondantes aux valeurs
de la variable ,v. Le problème de l'interpolation consiste à déduire, des couples de valeurs
(ù0,œ0), (",,-r,), (uz,x2), ..., (wn, a?n\ (1)
la valeur de h qui correspond à une valeur quelconque de .y.
Ce problème est détermine lorsque u est une fonction entière de degré n. En effet, soit
m == A0 -f- kYx -f A,.*2 + . . . + A„.rn ; (2)
si l'on exprime que les couples de valeurs (1; vérifient l'équation (2), on obtient n -\- 1 égalités de condition, desquelles on peut tirer les valeurs des 11 -f- 1 inconnues A0, À1? ..., A„. (Voir § 268.)
Plus généralement, le problème est déterminé, si u est une fonction de l'orme connue et contenant n -f- 1 paramètres indéterminés.
Ordinairement la l'orme de la fonction u est inconnue et, par suite, le problème de l'interpolation admet une infinité de solutions. Dans ce cas ou encore lorsque le calcul des valeurs numériques de la fonction présente des difficultés, on suppose que la fonction u soit développable en série suivant les puissances croissantes de x et que le développement soit assez. convergent pour qu'on puisse le réduire* à ses n {- 1 premiers
ternies. Cette hypothèse donne des résultats suffisamment exacts pour les applications, lorsque les nombres .\*0, .v,, x2 — , xa sont assez rapprochés et que la valeur de x pour laquelle on doit chercher la valeur correspondante de u diffère peu de l'un
d(4s nombres x0, .v,, X , v„.
268. Formule de Lagrange. — D'après ce qui précède, il s'aerit de déterminer la fonction entière
u = A0 -f- Aj^ -|- A2œ~ -\- ... \- Anxn
par la condition que pour les valeurs x = .v(), xl% x2, vn, elle
prenne respectivement les valeurs uQ, ult u2, .. , un. Les paramètres A0, A.", ..-., A„ résultent des égalités
w0 ==A0 -f A,a?0 + Aoor'i -f ... + Ana?;;, \ m, == A0 + Ajâ?, + Ao.tï -f .. -h Au.r'i, '
nn = A0 + A^;n + A2.r- + ... -+- Ano?jj.
Le déterminant des coefficients des inconnues est le déterminant de Vandermonde (43) des quantités x0,xu .. .,.vn, c'est-à-dire
oc.
Comme il est égal au produit de toutes les différences des nombres .v0, .v,, ..., xn pris deux à deux, il n'est pas nul; donc le système (4) admet une solution déterminée. Pour obtenir u, exprimons (pie les équations (3) et (4) sont compatibles; il vient (75)
u 1 oc X1 ... oc]
oe'i
En développant le déterminant (5) suivant les éléments de la lre colonne, la solution prend la forme
" = Pu"o 4- Piwi 4- P«M2 4- • • ;l- Vn"» ;
P0, Pl5 ..., Pn désignent des fonctions entières de X, de degré n, et indépendantes des quantités zz0, «n ..., un.
Ces fonctions s'obtiennent aisément par la méthode suivante. Le second membre de (6) doit se réduire à u0 pour x = «r0 ; donc pour x = x0 les polynômes P,, P2 ... Pn s'annulent et P0 prend la valeur 1 De même pour x = xl9 u se réduit à ux ; donc P0, Pg, P3, ... Pn s'annulent et 1\ prend la valeur 1 ; etc
D'après cela, le polynôme P0 étant de degré n et s'annulant pour x = .y,, x.2, .. , .vn, on a
B0 étant une constante; comme P0 = 1 pour .v — xQ, on a
1 = Ï)q' Xq 3?j) f.^y OC.,) . . . [Xq Xn ,,
et par suite
f J' — X j j \X — X.2 ) ••• yX &n I
fào — x\) ('^"o xz) '•' 1*^0 "^n^
On obtient de même Pj,P2 Pn La fonction cherchée est
donc
( X X | J (X X .-, ) ... \X ~—~ Xfl j
[X() X±)\0Cq x 2j . . . \X{) xu)
{x — x0)(x — x.2) . . (x — .rn) 1 (xl — x0) [xï — x2) . (a?, — ,Tn) ' (?)
(x — x0) (x — xxJ. ,. (œ — xn . , )
\Xn Xq) {Xn x y) . • \0Cn â?n.! j
Remarque. — Si l'on pose
Y[x) ■■= [x — t0) (x — x^ ... (x — xn) , la formule (7) peut être écrite ainsi :
F(.r) FJ>) F(a?)
(* a?0)F'(a?0) "0 "h (a? - a^F'^j "' + * ' h (a? - ooa)F\acn) 'n'
zz
Elle résulte aussi de la décomposition de =7— en fractions
simples.
269. Première formule de Newton. — Elle s'applique seulement au cas où les valeurs
w0, wl5 u,, ..., uu (8)
correspondent à des valeurs de x en progression arithmétique
<r0, œQ | h, x, | 2A, .... *0 ! nh. . (9)
Formons le tableau des différences successives de la suite (8j ; nous aurons 264)
ul =r= uQ -\- lu0i u, = u0 + 2\h0 -f- A2ie0, ... ,
«,-^+yA», i-"';-1,a-»„+ . s ;'a- X + A»«0.
Ces diverses expressions seront données par la formule générale
1 N > do)
pourvu (pie/> soit un nombre entier non supérieur à/i. En effet, si /> < n, le développement s'arrête de lui-même au terme en Aph0, les termes suivants renfermant le facteur nul p — p.
Cela posé, si l'on élimine/; entre la relation (10) et l'égalité x = x0 -f- p/î, et qu'on remplace uv par u, on trouve
i5)(JL=a.l),..r--^-,+ l) ■
c'est la formule cherchée, car le second membre est un polynôme de degré n, qui prend les valeurs (8) pour les valeurs (9) de x,
270. Remarque. — - Il est plus simple de considérer la formule (10) comme la formule cherchée, en sous-en tendant que p
est remplacé par' --> où x désigne le nombre pour lequel
ou cherche la valeur correspondante de u.
