AV0 - — 0,000 004 -182 9, A
ce qui donne, tous calculs faits,
log- = 0,497 149 872 7.
272. Seconde formule de Newton. — Newton a donné une seconde formule interpolatrice, qui s'applique à des valeurs quelconques de x et qui est plus pratique que la formule de Lagrange.
Pour fixer les idées, supposons connus quatre systèmes de valeurs (x0, u0), [x^ uj, (xz, h2), (.v3, h3), des variables ,v, u. Nous prenons pour u une fonction entière du troisième degré sous la forme
u = A + B(x — x0) | ( ){x — xQ) (x — xx) -f D(x — x0) (x — u\) [x — .r., t.
ORQ
Les paramètres A, B, C, I) sont déterminés parles égalités
uQ A,
^3 = A-|-B(./';J — a?0) hC(a?3— ar0)(a78— a?1)4-D(a?s--ar0)(arj--a?1)(aî>---ar8).
La première égalité détermine A. Si 011 la soustrait des autres et qu'on divise ensuite respectivement par .y, — .v„, x2 — -v0, .v:, ~ .v0, il vient
= B -f- C(x2 — xx)y
= B -f- C(x3 — xx) -|- D(a?3 — x\) (x3 — x2). x3 x0
Désignons les premiers membres de ces équations par u\, u' 2, 11' 3. On a B = u\, et si on soustrait la première équation des autres et qu'on divise les résultats par x.2 — .y,, x3 — .y,, on obtient
Xq
Uq
Xq
Représentons les premiers membres de ces équations par u" u". Si nous éliminons C, nous trouvons
rv* /y»
soit iz"' le premier membre de cette égalité. La formule cherchée
sera
u— u0-\ u\(x — x0)-\-u'^(x — x0(x — #1) + <('"(x — x0){x — ac-i) (x — x.2).
Pour calculer A, B, C, ..., on peut adopter la disposition suivante :
u'i a'.'. ii\ 2 à 4
Les quantités u\, u'2f ..., ri"«, ..., portent le nom de différences
divisées; chacune d'elles s'obtient en divisant la différence entre
le terme qui la surmonte dans la ligne précédente et le premier
terme de cette ligne, par la différence des valeurs correspon-
u" — u'\ dantes de x: par exemple, u"! . = 4 --•
Pour abréger le calcul de u, on peut suivre une méthode analogue à celle qui sert à calculer rapidement la valeur numérique d'un polynôme (116). Ce procédé est indiqué ci-dessous pour la fonction interpolât ri ce du troisième degré :
u == ut) \- (x — x0) ) u\ -\- (x — x^)[ii]% + {x — x2)u%]\.
Ainsi, on multiplie uT par x — x2 et l'on ajoute 'u!j au produit, etc.
Application de la théorie des différences a la résolution des équations.
273. Soit à résoudre l'équation à coefficients numériques réels
F(«0 A,rrm L Al.v>n 1 | ... [ Am 0.
Pour séparer les racines, on substitue à x des nombres compris (Mitre les limites des racines. On facilite les calculs en substituant (m \- 1) nombres équidistants,
•'•„, ^o "H h, xQ \- 2h r0 -f- m//,
et en formant le tableau des différences des valeurs correspondantes,
'"„. ul9 u2, ..., nm,
de Fi'.v) ; de simples additions ou soustractions font alors trouver
F(a-o 4- m+lh), Ffa> 4- m~+2h) , .., F(a?0 — A), F(*0 — 2//'i....
