D'après la première formule d'interpolation de Newton

, p(p -i)- r^ — *// -i- 1) Am

Cette formule montre que, si la suite

— 2ti\ —

no présente que «les permanences, xQ \~ (m — 1)/ï est une limite supérieure des racines; car K(.v0 \- ph) aura un signe constanl

pour toutes les valeurs de p plus grandes (pie m — 1. Si la suite (2) ne présente que des variations, tous les ternies dn second membre de (1 ) ont le même signe pour les valeurs négatives de />; par conséquent .v0 est une limite inférieure des racines de V(x)

275. Si les substitutions dont il a été question ci-dessus, révèlent

l'existence d'une racine dans l'intervalle (jc0 \ph, x0 f p -\r \h), on déterminera cette racine avec une plus grande approximation en divisant l'intervalle en ;j. parties égales et en cal cillant les valeurs de F(x) pour

à ect effet, on remplacera dans la formule (l)p successivement par

1 2 ul — 1

a [jl a

Si fi > m, on cherchera par ce procédé les m premiers résultats, et les autres par la méthode des différences (263).

276. Théorème de Choquet (*). — Les notations étant les mêmes (pie ci-dessus (273), écrivons la formule (1) ainsi :

Si nous supposons p compris entre 0 et 1, les signes des

coefficients de Ah0, A2h0, ... sont mis en évidence. Le maximum

de -, ■ / sera0; celui de , -.- -.-> sera - • D ou

(*) Voir Traité d'Algèbre, par Choquet (Paris, Mallet-Bachelier, 1850, pp. 377t378 <d 385-386); Note sur la résolution des équations algébriques <ie degré quelconque par la méthode des différences, par M. Matrot (Mémoires de la Société des sciences, de l'agriculture et des arts de Lille, 1875); Mathesis, 1891, p. 218.

3 1 ou

,,il -p)(2—p){3 - p)(-i-p) 1.2 3.4.5

:20-5OU2ô

Par conséquent, si l'on désigne par >M, X2, ..., Xm des nombres compris entre 0 et 1, on peut écrire

F(*o + ph) = Mo + Xo^o - ^ A^-h^A-X... +(- Dm l~ A»ii0.

11 résulte de là que, chaque fois que m0 surpasse en valeur absolue l'ensemble des termes de signe contraire à celui de u0, ternies où l'on remplace les X par l, la fonction F(x) ne change pas de signe dans l'intervalle {xQ, x0 -f- h).

Cette remarque peut servir à reconnaître des- intervalles qui ne renferment pas de racine de F(x) — 0.

Exercices et notes.