FONCTIONS SYMÉTRIQUES
277. Définitions. — On nomme fonction symétrique on uniforme des lettres a, 6, .. / tonte expression formée avec ces lettres, qui ne change pas quand on permute d'une manière quelconque deux ou un plus grand nombre de ces lettres. Exemples :
a» + 6' + c" - Saie. . ~ I- ~ I ~r
Une fonction symétrique entière est nécessairement une fonction symétrique homogène ou la somme de telles fonctions. Par exemple, si une fonction symétrique des lettres n, b, c. contient le terme 3a3£, elle comprend nécessairement le polynôme
3a*b |- 3ab* \ 36c3 |- 3&3c \ Scht -f- 3ca3,
({lie l'on désigne par 3 Sa36; si Ton y trouve le ternie — 2ab non compris dans les précédents, une seconde partie de cet te fonction est
— 2ab — 2bc — 2ca
ou — 2%ub; et ainsi de suite,
On nomme fonction symétrique simple, tonte fonction syméiri [ne rationnelle, entière el homogène dont chaque terme ne contient qu'une lettre; telle est la l'onction
que nous désignerons j > ; 1 1 • s%.
Une fonction double est une fonction symétrique, rationnelle, entière et homogène dont chaque terme ne contient que deux lettres; une fonction triple est colle dont chaque ternie contient trois lettres; ci ainsi de suite Par exemple, l'expression
a\b — cr 4- t>3(c — a)2 -{- e3(a — b)2
es! la somme de la l'onction double -n:]b: et de la l'onction triple — 2£ù*bc.
Nous verrons que toute fonction symétrique rationnelle des racines d'une équation algébrique s'exprime rationnellement an moyen des coefficients des racines de cette équation, c'està-dire au moyen des fonctions symétriques élémentaires
-d. -u'j, -af''\ . , abc ... I .
278. Formules de Newton. — 1. Soient a, b, .. I les racines de
F(.r) =** \-prvm l i-/v"> 2 r ■■■ h pM = 0,
en sorte que
En dérivant cette identité, on obtient
F\.rj . : [X - b) r — C)
Si l'on effectue la division de V x par x
- a Pi
\-l>uc
\-Pi
rm
a, on trouve
| ... ! am~ »
Remplaçons a successivement par b, c, ... / et faisons la somme des résultats; nous aurons, eu égard à la relation (l),
4" /Mo
+ ïhS.n-3
Mais
F'(a?) = ma?1" ' -|- (m - l)y)r'.'m 2 4 (m par suite
S] 4-/V\> - (m — l)Pi,
... h Pm-iî
*Pi
•s.n - i T Pi^m— 2 r ^2'5m - 3
ou, après simplification,
s2 + Pi$i + 2p8 = 0,
«3 hPiS-z + /Vi 4- 3/>3 —0,
s,n 1 rl>v\n 2 I PoJm-3 r---.-ri5m.251-f (m— l)pm-i =0. .
De ces formules, on peut tirer s1} s2 s,n— 1 on fonction des
coefficients p15 /;2, ... /)m j ou inversement, ces coefficients en fonction de .s,, s2, .. sm-l.
