II. a, fr, ... , / étant les racines de F(x) — 0, on a

a" -fPiflra J 4-/V*m~2 I ... -f Pm = 0,

&IJ -fp^™-1 -i-p^»-8 -f ... + Pin = 0,

/m +y>1/m- -i \-pJm-2 .f .. j pn == Q.

tën additionnant ces égalités, on trouve

Sm r-Pi^m-! -\~P2Sin-2 + ••• fPm*o = 0*

d'où Ton déduit s,n en fonction de Sm—j, sm— 2,

Multipliant les relations (3) respectivement par a11, frn, et faisant la somme des résultats, on obtient

5m i n !- PiSm h„i -f p25jn |n : h .. + pm*,, = 0 .

formule qui servira à calculer successivement .sm| ,, .sm 1 2,

111. Nous supposons />„, différent de zéro, do manière que l'équation proposée n'a pas de racine nulle.

Pour /i= — 1, — 2, — 3. ... la formule (4) donne

•S ni — i hPi^in— 2 ~f" ••• ~i Pta 1*0 I PmS— i = 0,

Sm , | /V'm 3 ! ... -fp.n-l5-! H-^nS , = 0,

Ces équations déterminent s .j , s 2> •••

On peut obtenir les mômes quantités s ! , s , , .. en cherchant les sommes sl5 s2, ... relatives à l'équation

MHPm-i^"1 4- ..- \-p^ -f- 1 ==0.

Autre solution. — 1. Reprenons l'égalité di sous la forme

F(jt) a; — « a; — b x — l

En effectuant la division de 1 par x — a on trouve

(A/ Cv «A/ tX* iX/

le second membre peut être prolongé indéfiniment et le reste de la division tend vers zéro à mesure que le nombre des termes du quotient croit, pourvu que le module x soit supérieur à celui de n.

Si l'on remplace .-/ successivement par chacune des autres racines et qu'on ajoute ensemble ies résultats, on aura

Effectuons la division de F'(x) par Fiai, ces deux polynômes étant ordonnés suivant les puissances décroissantes du x; le quotient aura la forme

\Aj \As kAj

Les coefficients Ql5 Q,j, ... sont les valeurs cherchées de &*j, s2

II. Effectuons la division de 1 par a — v ; nous aurons en série convergente

pourvu que le module de x soit inférieur à celui de u.

Eu remplaçant a successivement par chacune des autres racines et en ajoutant les résultats on obtient

— pT^j s-i r 6-2'r -r *-3'r~ ~r ••• •

Si l'on ordonne V \ et F .v i suivant les puissances croissantes de x el qu'on effectue ensuite la division de F'i.vj par F(.v), le quotient sera de la forme

d'où l'on déduit s— ] = — q\, s— o = — </■: • •■ •