Application — Soit le déterminant de Vandermonde

et

. an~ 1

. cn~l

ln

formé avec n nombres distincts a, b, c, ... /. Regardons-le comme un polynôme en b ; comme il s'annule quand on remplace b par a, il est divisible par b — a. On verrait de même

qu'il est divisible par les différences c — a, c — b, etc.; il est donc divisible par le produit

On a même V = P; car le produit des premiers termes des facteurs de P est égal à bcz ... /u 1 ou au terme principal de V.

Plus généralement, si f^x), ft(x), ... fn(x) sont des fonctions entières distinctes, et si a, b, ... / sont n nombres distincts, le déterminant

.. fn (a)

• fn[b)

• fn(c)

m) fS) ... rs)

est divisible par P. Un tel déterminant est appelé alternant.

44. Théorème — Pour multiplier ou diviser un déterminant par un nombre A, il suffit de multiplier ou de diviser par A les éléments d'une rangée.

Ainsi,

Cto

bx c,

lal bY cï la2 b2 c2

la* br, Co

Car chaque terme du développement du premier déterminant contient en facteur l'un des nombres a1} a2, a3 ; donc si on remplace ces nombres par Aa^ Xa2, Xa3, le déterminant est multiplié par X.

45. Corollaires- — I. Un déterminant change de signe quand on change les signes des éléments d'une même rangée.

II. On peut mettre en évidence devant le déterminant un facteur commun à tous les éléments d'une même rangée.

Ce principe facilite souvent le calcul d'un déterminant. Soit, par exemple,

Divisons la première colonne par 2, ensuite la troisième ligne par 4; puis après avoir réduit les éléments de la première colonne au dénominateur commun 15 et ceux de la troisième au

dénominateur 12, mettons en évidence les facteurs y-^ et y— Il

vient

D = 2X4XT.XT(:

Mineurs d'un déterminant,