OU G

i > P2 î lJ'S » • • • i iJi 5

les éléments de ces lignes et de ces colonnes qui restent après suppression des autres lignes et des autres colonnes appartiennent à un nouveau déterminant, d'ordre /, qu'on appelle déterminant partiel ou sous-déterminant de D. En le désignant par o on a

ar. o

al^2

a o *2ri

aasS

• «„ fi.

on peut le représenter sans anibiguité par le symbole

Pi Pî

Soient

et 3,

PH i

les rangs des lignes d ceux des colonnes qui n'entrent pas danso; les éléments communs à ces lignes et à ces colonnes appartiennent à un autre déterminant partiel 8', qu'on appelle le complémentaire de 8 et qu'on peut représenter par le symbole

,Ji I 1 *i ! 1

Pn

Les combinaisons a1a2 ... ai5 ^^ ... [J,, a, ^ i ... au, |3, { , ... j3B sont supposées ordonnées ; autrement dit, elles ne présentent pas d'inversion.

58. Lemme. — Etant donné un déterminant I) d'ordre n, soit o le déterminant partiel formé nuée les éléments communs aux i premières lignes et aux i premières colonnes, et soit o' le sous-déterminant complémentaire de o : /e produit oo' /a/7 partie du développement de I).

Considérons parmi les termes de I) ceux qu'on déduit du terme principal

«it«22 • • • ^ii^ibk •• aivn

en remplaçant la suite des seconds indices de la partie aiia22...au par une permutation quelconque yiïs ...y, de ces indices, et aussi la suite des seconds indices de la partie restante akk...annpar une permutation quelconque yk ... yn des mêmes indices k> k-R> - -n. Soient v le nombre des inversions delà permutation y,ye ... yl5 et / celui des inversions de yk ... y„; v f- v' sera celui des inversions

ClC *:

ïiïk

,,. La somme des termes considérés de D sera donc

ou Or,

)V«1Y, . «lYl X ï(— Dv'«kyk-- «nyn.