Théorème de Laplace
1) d'ordre n, partageons les lignes en deux groupes, G e/ G', comprenant respectivement i c^ n — i lignes. Soit o un déterminant partiel formé avec les éléments communs aux lignes de (l et à i colonnes quelcojKjues de D, et soit o' le complémentaire
de 8. Si m désigne la somme des rangs des lignes et des colonnes de I) qui entrent dans o, on a
Soient, respectivement,
ci »
où A = * -}- 1 1
les rangs des lignes du groupe Gr, et ceux des lignes du groupe G'. Ces nombres % sont donnés et restent invariables.
Formons le déterminant partiel 8 dont les éléments appartiennent à la fois aux lignes G et aux colonnes de I) de rangs
Pt.
Pi,
et un autre déterminant partiel o' avec les éléments communs aux lignes G' et aux colonnes de D qui n'entrent pas dans 8; nous désignons les rangs de ces dernières colonnes par
Q Pk+li
o et 8' sont des sous-déterminants complémentaires.
Démontrons d'abord que le produit 88', pris avec un signe convenable, fait partie du développement de T). À cet effet, observons que par des transpositions de deux rangées parallèles on peut donner aux lignes de I) l'ordre sqa2 ... a.a ... aB (*) et aux colonnes l'ordre Pip2 — ?ipk ••• ?n« Le nouveau déterminant D', qu'on peut représenter par
pi p,
est égal à | I) ou à — I), suivant que son ternie principal
On
fait partie de I) avec le signe | ou avec le signe — : ce signe est celui de (— yM-P', ,,. et u/ désignant respectivement les nombres des dérangements que présentent les permutations
al*2
PlP-2 •• ,Ji,J
Cela veut (tire nue la ligne qui occupait le rang *] rlevienl la première, scelle qui occupait le rang a2 devient la seconde, etc.
Or, les combinaisons y.^z . . *, et; ak ... a„ ne présentent ellesmêmesaacun dérangcmenl • Mais les éléments de 3t1«2... «, forment avec ceux de *kak+i ••• *n respectivement
at — 1, ot2 — 2, ... a, — z
inversions; car la seconde combinaison renferme tous les nombres plus petits que *i, Ions les nombres plus petits que x., à l'exception de sq, tous les nombres plus petits que a3 à l'exception de x, et st2 , etc. Il résulte de la et par analogie que
h*i) — (l +2 I-... >/); h PO — (1-4- 2 4-... + *);
donc si l'on pose
y-i 4 *g I- ... -j-ai h'Pi on a
;;. | ;,.' = ffi —2(1 4" 2 +- ..
Par conséquent D' = (— I)raD.
Cela posé, le développement de D' (58) comprend le produit des déterminants partiels
iJl iJ> ••• J\
y.{ y., ... otj
Donc une partie du développement de 1) est égale à
Mais si l'on remplace la combinaison j3.J32 ... ,3, successivement par toutes les combinaisons des nombres 1, 2, ... n pris i à i, on aura, sans omission ni répétition, tous les termes de I). Par suite
D - S{— l)'»êô'.
Par exemple, le déterminant
a2 #., Oo c?2 a* bo e, rf.
est é
'gai à
«i bx
c2 rf2
a, dx
bt dt
Ci nf,
Remarque. — La quantité (— l)mo' est appelée le cofacteur
<le o.
60. Corollaires. — f. Si /es éléments communs à i lignes et à n — i colonnes sont nuls, le déterminant se réduit nu produit de deux déterminants. Par exemple
rfl
fr,
cs
Réciproquenient, le produit de deux déterminants dont les ordres sont respectivement p et q, peut se mettre sous la forme d'un déterminant d'ordre p |- q.
II Si les éléments communs à i lignes et à plus de n — i colonnes sont nuls, le déterminant est identiquement nul.
Remarque. — Le théorème (59) généralise la première propriété des mineurs (47). On généralise la seconde en remplaçant une ou plusieurs lignes du groupe G' par un nombre égal de lignes du groupe G pour composer les déterminants partiels désignés ci-dessus par 8'.
