DÉTERMINANTS ADJOINTS
61. Définition. — Soient An, A]2, ... les mineurs du déterminant
«Il #12
«ni #n2
«In 02n
"un
('es mineurs sont les éléments d'un nouveau déterminant
Am A 2n
An] An> ... Ann
qui est appelé le déterminant adjoint ou le réciproque de I).
62. Théorème. — Le réciproque d'un déterminant I) d'ordre n est égal ù Dn 1.
En effet, si Ton applique à I) et D' la règle de la multiplication (52) en tenant compte des propriétés des mineurs (47), on
trouve
d'où D'-- D"-1.
63. Théorème. — Soit D' le réciproque d'un déterminant D, d'ordre n. Un déterminant partiel, d'ordre i, de D' est égal au produit de I)'-1 par le cofacteur du déterminant partiel correspondant de T).
Considérons, par exemple, le déterminant
n.n ft.„ a.2n a9À a9
rin
Un déterminant partiel du réciproque I)' de I) est
nous le mettons sous la forme (60, T) :
-Ml A. 1 2 A i 3 A ! 4
-Agj A o o A o 3 A o 4
Kn faisant le produit des déterminants ( 1 1 et (2) on trouve 47
ou
Lorsqu'il s'agit d'un déterminant partiel de D' dont les rangées ont des rangs quelconques, on permute d'abord les lignes et les colonnes de D' de manière que celles qui entrent dans le déterminant partiel considéré, deviennent les premières; on dispose ensuite les rangées de D dans le même ordre que les rangées homologues de D'; ee qui change D en ( — l)mD, m avant la signification indiquée (52). La démonstration s'achève alors comme ci-dessus.
64. Corollaire. — Soient A'n, A'j„ ••• les mineurs du réciproque D' d'un déterminant I), d'ordre n. Le théorème précédent donne
'2a V — IV1 -*a
Donc, les mineurs de D' sont proportionnels aux éléments correspondants de D.
65. Propriétés des déterminants nuls. — T. D'après les théorèmes (63) et (64), lorsqu'un déterminant est nul, son réciproque D' et tous les déterminants partiels de D' sont nuls.
II. Supposons que D soit nul sans que tous ses mineurs soient nuls. Alors en appliquant la propriété précédente aux déterminants partiels qui se déduisent des deux lignes
Ar]
Asi
on trouve les proportions
Ar2
A,-, A si
Arg
At2
As::
Ar3
Asn
Ans
Donc : Lorsqu'un déterminant est nul, les mineurs relatifs aux éléments d'une rangée sont proportionnels aux mineurs relatifs aux éléments homologues d'une rangée parallèle.
III. Pour qu'un déterminant I) soit nul, il faut et il suffit qu'il existe une même relation linéaire homogène entre les éléments de chaque ligne.
Nous ne considérons que le cas où les mineurs de l) ne sont pas tons nuls; par exemple, quelques-un des mineurs A,,, A,,, ... sont différents de zéro.
La condition est nécessaire; car d'après la propriété des mineurs (47), si T) 0, on a
«rlAsi -h ar2ÀS2 I • • I- «mAsn ^ 0, [r = = 1, 2, . , . w)
même pour r — s. Elle est suffisante ; en effet, si
Mil "t" *2«r2 "h ... + Xnflrn == 0 (*) (1)
pour r = l, 2, ... n, multiplions la première colonne par X, et ajoutons-y les suivantes multipliées respectivement par À2, X3, ... Xn; les nouveaux éléments de la première colonne étant nuls en vertu des relations (1), on a nécessairement 1) = 0.
DÉTERMINANTS BOUDÉS.
