Définitions. — Etant donné un déterminant
an au a2l ci.22
on a souvent à considérer un autre déterminant de la forme
«Il
«lu
«nl
. «nn
') Quelques-un des "nombres À pourraient être nuls; nous supposons ici X\ différent de zéro.
On dit ({lie IV est le déterminant I) bordé d'une ligne et d'une colonne; nous le représentons par (D*,).
Le déterminant I) peut être doublement bordé :
DÏL) =
«Il
al2 .
•• «In
«ul
il peut être triplement bordé, etc.
67. Théorème. — Soient An , A12, ... /e.s mineurs d'un déterminant D d'ordre n. O/ï a
(Pi)
SA,,.r ■•'
r ef s recevant successivement toutes les valeurs 1, 2, 3, ... n.
Si on développe (D*) suivant les éléments de la dernière colonne, et qu'on appelle B'lf B,, ... Bn ses mineurs se rapportant à a.*!, x2, ... A',i, on obtient
(P*,) = œfii + œ2BQ + ••• + •'Vl>r 4- • -.+ ^nBn.
Désignons par Dr le déterminant qu'on déduit de D en remplaçant la re ligne de D par la suite x\9 a*'2, ... a:'„. On a Bj=^ — D, ; car si l'on échange dans (D*,) la re ligne et la dernière, xr devient le dernier élément et le mineur correspondant est alors égal à Dr, mais (D*,) a été multiplié par — 1.
On peut donc écrire
Or
D,. = x\A,.i \- .r'2Art +■ ... 4- x'a A,.., + ••• -t- a^nAm;
en substituant cette valeur et les valeurs analogues de DIf D2, ... on trouve la formule (i).
68. Corollaire. — Si le déterminant D est nul sans que tous ses mineurs soient nuls, le déterminant bordé (D*,) est J«*f produit de deux facteurs linéaires.
VYl
Eu offeVfii I> 0, on a (65, l)
A ri A,-.- A,,-; Arn
An A 12 A 13 Ain
d'où, en désignant ces rapports par A*,.:
A,i /'VAU, A,.-> = #2A12, A ,-3 = /»'rA13, ... Les égalités (3) et (2) du § précédent donnent alors
Dr == — kT(x'xku -f a?'fA12 + ... + *'nAin) = — kTDl , (DJ) = - D^A, + <*»*£ + -.. + «?n*n). Remplaçons les quantités A* par les valeurs
'M === ' ftj =7- ' A 3 = — — > • ' • >
il vient
(Djf)== — - i.r'jAn-1 a?'2A12+... h^nAln)(#1An-f#2A2l+...+#nAni). Ai i
69. Un déterminant doublement bordé (D*L) donne lieu à une remarque curieuse ci utile, quand on applique le théorème (63).
Los mineurs de ce déterminant qui correspondent aux éléments du carré final . . sont les déterminants simplement bordés
(DJ,), -(Djr), -(Df,), DJ);
ils forment le déterminant partiel du réciproque de (D*,yy,) :
S "";^|'»(DÏ/)(M0-P»(Dî,y,
et le cofacteur du déterminant partiel correspondant de (Dlïyi) est précisément D. Donc
(DÎ,)(DÏ,)-(PÏ,).(Di»)=.D(DÏJfc).
