PRELIMINAIRES
5. Définitions. — On appelle expression imaginaire, quantité complexe ou, simplement, imaginaire, toute expression de la forme a ± V — P2, dans laquelle le radical porte sur une quantité essentiellement négative ( — p2).
On convient d'étendre aux imaginaires les règles démontrées pour les quantités réelles. D'après cela on écrit
y - r = v pf(— i) == v p« v -i = p v - 1,
et l'expression a ± \! — [32 est ramenée à la forme a ± 3 \f — 1.
Le symbole V — 1 est souvent désigné par la lettre /, de sorte que le type général d'une imaginaire est a -f- bi, a et b étant des nombres positifs ou négatifs.
Si on suppose b = 0, on admet que l'expression a -f- bi se réduit à a; par là, les quantités réelles sont renfermées comme cas particuliers dans les imaginaires.
Lorsque a = 0, on a V imaginaire pure bi.
On appelle imaginaires conjuguées deux imaginaires a + bi et a — bi, qui ne diffèrent que par le signe du coefficient de i.
Le module d'une imaginaire est la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de i, cette racine étant prise positivement. Le carré du module est appelé norme.
Le module de a -\- bi est donc égal à + y a2 -j- b2 ; on le représente souvent par mod(u ^ bi) ou par | a -f bi . Par exemple :
Le module d'un nombre réel, positif ou négatif, est sa valeur absolue.
6. Imaginaires égales. — Deux expressions imaginaires sont dites égales, quand les parties réelles sont égales entre elles ainsi que les coefficients de i; en sorte que l'égalité
a \- bi ==■■ a' -j- VI
implique les deux égalités a == a', b = b'.
En particulier, l'égalité a -|- bi = 0 exige a = 0, b = 0.
7. Théorème. — Pour qu'une imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul.
En effet, si l'imaginaire a ~\- bi est nulle, on a a = 0, b = 0; donc V a2 -|- 62 == 0. Réciproquement, si a2 -f b2 — 0, on a a = 0, 6=0.
8. Forme trigonométrique des imaginaires. — Toute imaginaire a + bi est réductible à la forme r(cos 6 -f- i sin 0;.
Car l'équation
a -f- bi = r ^cos 0 -f- i sin 0)
se décompose en deux autres (6) :
a = >■ cos S, ô = r sin 0, ( î )
d'où l'on tire
r== \J a2 -f b-, tgO - - •
On convient de prendre positivement le radical, r est donc le module de l'imaginaire.
L'égalité tg 6 = - donne pour 0 deux valeurs comprises entre a
0 et 2~, mais les égalités (l) montrent que cos 0 a le signe de a et sin 0 celui de b, et ces signes déterminent le quadrant auquel appartient 6. Soit w l'arc unique compris entre 0 et 2~ et répondant aux formules (1) ; nous pourrons poser 0 = m -f- 2/ir, n désignant un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul. L'arc 0 est appelé Y argument ou V amplitude de l'imaginaire a + bi; il n'est déterminé qu'à un multiple de 2- près.
Remarque. Si deux imaginaires sont égales, leurs modules sont égaux et leurs arguments diffèrent d'un multiple de 2~.
