I. Soient OX, OY deux axes de coordonnées rectangulaires

On convient de représenter V imaginaire a -f bi par le point Z (fig. 2) ayant pour abscisse a et pour ordonnée b; ce point est appelé VufJLxe de l'imaginaire.

Fis", -j

Fig.

En particulier, les nombres réels ont pour aiïixes les points de l'axe XX, les imaginaires pures sont représentées par les points de l'axe Y'Y. Aux quatre imaginaires

bi.

a -\- bi, — a -]- bi, — a — bi,

correspondent les sommets Z, Z\ Z", Z"' d'un rectangle symétrique par rapport aux deux axes coordonnés {fig. 3).

II. Si l'on prend OX pour axe et O pour pôle, les coordonnées polaires de Z sont

r = OZ, 0 = ZOX.

Or, le triangle rectangle POZ donne

r = \' a2 -\ - b2, a = r cos 0, b — r sin 0 ;

de ces égalités on conclut que le module et Vargumcnt d'une imaginaire sont les coordonnées polaires de Vaffixe de cette quantité.

10. Vecteurs. — On appelle vecteur AB un segment rectiligne AB dont on considère à la fois la longueur et la direction; il est supposé parcouru par un mobile allant de Y origine A à Y extrémité B. Deux vecteurs situés sur la même droite ou suides droites parallèles sont dits avoir la même direction ou des directions opposées suivant qu'ils sont de même sens ou de sens contraires.

Deux vecteurs son! égaux on équipoUeiits lorsqu'ils ont même longueur et même direction.

Etant donnés plusieurs vecteurs, par exemple AB, A'B', A"B', A"'B"' (fig. 4)> (llie n01is désignons par a, a' , a'\ a':', on appelle

somme ou résultante (Je ces vecteurs le vecteur <>(J qui va de l'origine à l'extrémité d'une ligue brisée OMN V<1 dont les côtés

OM, MN, NP, PQ sont respectivement équi poil en ts aux vecteurs donnés ; on écrit

OQ = a + a' + a" + a"'.

Cette somme géométrique jouit de toutes les propriétés de la somme algébrique. Ainsi, on peut remplacer deux termes MN et NP par leur somme effectuée MP (propriété assoeiative). On peut aussi intervertir l'ordre des termes ( propriété commutativé)\ par exemple, en construisant le parallélogramme MNPR on voit que

et de ce qu'on peut intervertir deux termes consécutifs on conclut aisément qu'une somme est indépendante de l'ordre des termes. La différence OB — OA de deux vecteurs (fig. 5) est le vecteur AB qui ajouté au vecteur OA reproduit le vecteur OB. Si l'on achève le parallélogramme OABC, on a

OB — OA = AB =-- OC = OB -f BC,

On en conclut que retrancher un vecteur OA revient à ajouter un vecteur BC de même longueur et de direction opposée; on peut donc écrire + OA = — AO.

Enfin, si a désigne un vecteur quelconque et m un nombre proprement dit, ma représente un vecteur de même direction que a et dont la longueur est à celle de a dans le rapport m : 1 ; si m était négatif, on prendrait le second vecteur dans la direction opposée.

Les notions qui précèdent, nous conduisent à une autre interprétation géométrique des imaginaires. Z étant l'afl'ixe de l'imaginaire a + bi (fig. 2), nous convenons de dire également

que cette imaginaire est représentée par le vecteur OZ, dont la longueur est égale au module r et dont la direction est déterminée par Varg'innent 0. Ce vecteur est la gomme des vecteurs OP et PZ; ceux-ci sont représentés par a et par bi si nous convenons de désigner un vecteur parallèle à OX par le nombre qui le mesure (affecté du signe -J- ou — suivant son sens), et un vecteur de longueur 1 et dirigé suivant OY par la lettre i.

Addition et soustraction des imaginaires.

11. Somme ou différence de deux imaginaires. — Soient les imaginaires z = a + bi, z' = a! -f- b'i. D'après nos conventions (5)

* ± z' = (a ± a') -f (b ± b'ji.

Si Z et Z' sont les atïixes de z et z' (flg. 6'), l'affixe de z -f- z est le quatrième sommet A du parallélogramme construit sur

Fig. 6.

Fig. :.

OZ et OZ'; car ce sommet a pour coordonnées

x =. OQ == OP + ZR == OP + OP' = a -f a', y = qa = PZ -f RA = PZ + P'Z' = b + b'.

De même, si l'on prolonge OZ' de OZt == OZ, le quatrième sommet B du parallélogramme construit sur OZ et OZj représente la différence z — z'. On voit que l'addition et la soustraction des imaginaires correspondent aux opérations de même nom effectuées sur les vecteurs correspondants.

12. Théorème. — Le module de la somme ou différence de deux imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules de ces imaginaires.

En effet, les modules des imaginaires -, z', z -\- z' (fig. G) sont

égaux aux côtés du triangle OZA, et le côté OZ est plus petit que la somme des deux autres et plus grand (pie leur différence. La démonstration est la même pour z — z'.

Cependant, si les vecteurs z et z1 ont même direction, on a

\x-L.zt\ = \z ' 4- Z1 ' > I £ I I z' > .

en supposant ri > \z' |; s'ils ont des directions opposées,

<S — j— >o ! — Il I I ~^ I I II

13. Somme de plusieurs imaginaires. — Soient (fig. y) OZ, ( )Z', OZ" les vecteurs qui correspondent aux imaginaires c, z\ z"; la somme z -f- z -f- z" est représentée par le vecteur OB qui va de l'origine à l'extrémité de la ligne brisée OZAB dont les côtés sont équipollents aux vecteurs donnés.

Cette construction montre immédiatement que le module d'une somme est au plus égal à la somme des modules des parties; l'égalité a lieu lorsque les vecteurs représentatifs ont môme direction.

Multiplication des imaginaires.

14. Théorème. — Le module d'un produit est égal nu produit des modules des facteurs, et son argument est égal a la somme des arguments des facteurs.

Considérons d'abord deux imaginaires

z —- r(cos 0 -f i siu 0), z' = r'(cos 0' ■-{- i sin 0') .

En tenant compte de la relation i2 = — 1, on trouve

zs' r= rr'[cos 0 cos 0' — sin 0 sin 0' -f- /(sin 0 cos 0' -j- sin 6' cos 0) j

= rr'[cos(0 + 0'j -f- i sin (6 -f û')j. Il en résulte :

mod zz' = rr\ arg zz' = Ô + 0'.

Le théorème est donc vrai pour deux facteurs; on l'étend facilement à un nombre quelconque de facteurs.

15. Remarques. — I. Pour démontrer la première partie du théorème, on peut aussi considérer le produit

(a -\- bi) (c -\- di) = (ac — bel) -f- [ad -f- bc)i ;

il a pour module

\'(ac — bd)* + (ad -f- bc)~ = \'(az -f ô2) (c2 + ds), et les modules des facteurs sont \f a2 -f- 62, V c2 -f- r/2.