Théorème. — Etant donne un système de n équations

linéaires homogènes à n h 1 inconnues :

"irri H- «12^2 -|- . . f alnœa | almœm — 0,

.. - . »-fvri:Jt "22^2 H" ■••- "I- «2n#n -\ OitnXai == 0, ' /-m

•^nl^i + «n2^2 + ••• -+" «nn^n + «nm^ni == 0,

oz) m esLccrit.jjourn \: i, désignons pur Dlf D2, .. T)<n /es déterminants qu'on déduit du tableau des coefficients

a w #12 •• • #ln rtlm

en supprimant la lre, /a 2'\ ... /a me colonne. Si run~.de- ces déterminants est différent de zéro, le système proposé admet une solution uniïjue, représentée par les formules

•ri -''-z ^3 4 (^\

Supposons Dm ^= 0, et considérons le système

«ri — + «ra -*+•••+ «m ~~ + «ro = 0, (?' == 1, 2, ... Il)

qu'on obtient en divisant les équations (1) par xm . Les inconnues

ont des valeurs déterminées (73), dont le dénominateur commun est le déterminant Dnl du S3Tstème et dont les numérateurs se déduisent de Dm en remplaçant la lre, la 2e, . . la zî° colonne par la suite — aim, — a-im, .. , — anm- Si nous convenons de représenter un déterminant formé avec n colonnes du tableau (Tj par les rangs de ces colonnes mis entre deux traits verticaux, la solution prend la l'orme

*in ' 'm

-> etc.

En échangeant la colonne représentée par ni successivement avec chacune des suivantes, on trouve

m 2 3 I ... n i — IV1-' 2 3 1 ... n m \ =-. (— l)n lDu

l m 3 4 ... n = {— l)a~- 1 3 4 ... n m \ -= (— l)n~2D2, etc

Donc

&m t)m Ç0m i),n ^iii t)in

('es égalités conduisent aux proportions (2). Exemples. — I.

f'vr -h hxy -I ^ = 0, a2a? -f ^Z/ + C2S — 0.

Ce système admet la solution

ou

pourvu que l'un des dénominateurs soit différent de zéro