II. arv -[- bxy -}- cxz -\~ dxu
La solution de ce système est
I ^i c>i «\l I «i ci «^ I | «i ^i «\ | | «\ bl cx | pourvu que l'un des déterminants soit différent de zéro.
78. Théorème. - Etant donné un système linéaire homogène de n -f- 1 équations à n -f- 1 inconnues, si n de ces équations admettent une solution unique autre que la solution zéro, la condition nécessaire et suffisante pour que cette solution vérifie V équation restante, est que le déterminant du système proposé soit nul
Soit le système
a.nœ} | a22x2 | . . --{- aitïocn | a^mœm
«ni-»] "h «112^2 + ••• + "mr'ii ! "nuv>'m <tm\x\ I «m2#2 + ••• I 'a.nwrn-\- «mm#m
où m est écrit pour n \- 1.
Si Ton suppose le déterminant
«Il «12 •
«in «2n
différent de zéro, les/j premières équations du système admettent une solution unique autre que a*! — x2 = ... .v,n 0. Pour que cette solution vérifie la (/? h l)e équation, il faut et il suffit que Ton ait
Ct\n (Ci n «2n «2m
j «i.l «ii2 ! «ml «m2
«an ^nra «mn «mm
En effet, désignons par X,, X,, ... X „ les premiers membres des équations proposées, et appelons A le déterminant (1). Si à la dernière colonne de A multipliée par .vm, on ajoute les autres multipliées respectivement par .v1? .v2, ... xn (ces nombres x sont quelconques), on trouve
«,, a,o ... «in X
11 "12 ••• 'Mil -'v j
(trt-\- ■■■■ -CLo-y ••• ^gn A. o
rm A
«ni «i)2 '••• «nn
«ml «m2 ••• «mm -A-m
Soient À,, X2, . . Xn, Xm les mineurs de A relatifs à la dernière colonne; l'égalité (2) donne
a?mA ee /^Xj + X2X2 -f- ... + XnXn -|- XraXm. (3)
On en conclut que la solution qui vérifie les équations X! = 0, X2 = 0, ... Xn 0, satisfait, également à l'équation X:n = 0 pourvu que l'on ait A = 0; et réciproquement.
Remarques. — I. Dans le cas considéré, il existe entre les
fonctions X une relation linéaire
X,nXm-0,
qui a lieu pour toutes les valeurs des variables xx, x, v„, ;
autrement dit, ces fonctions ne sont pas indépendantes.
1 1. Si A / 0, la seule solution du système proposé est la solution zéro (74, 1).
79. Sur les systèmes rectangulaires nuls. — Pour fixer les idées, considérons cinq équations à trois inconnues :
(iri\ | a,œ2 }- a3x3 == 0, (1)
blxl -\- b2x2 -f- b3x3 = 0, (2)
clxl + c2x2 -h csx2 = 0, (:})
dlxï -f- d2x2 -f d3x3 = 0, (-1) e1œl -\-err, -f e3x3 = 0.
Supposons que les deux premières admettent une solution autre que la solution zéro; ce qui exige (pie l'un au moins des déterminants
soit différenl <lo zéro. Pour que cotte solution vérifie également les équations (3), (4; et (5), on doit avoir (78)
bx b.
Mais alors les systèmes formés par les équations (2), (3) et (4) ou (2), (3) et (5), etc., admettent une solution non nulle ; par suite
b] b.2 b.3 Cj c2 c3 dx d2 d3
0, etc.
On est convenu d'indiquer toutes les égalités (7) et (8) en écrivant
dx
cette notation signifie que tous les déterminants formés avec trois colonnes quelconques du tableau rectangulaire sont nuls. Il y a O? de ces déterminants ; mais l'égalité (9) revient à trois égalités distinctes, pour lesquelles on prend, par exemple, les égalités (7).
Réciproquement, étant donnée l'égalité (9), si les déterminants (6) dérivant de deux colonnes du tableau (9) ne sont pas tous nuls, on peut écrire les égalités (1) à (5) ; autrement dit, il existe une même relation linéaire homogène entre les éléments d'une même colonne.
80. Applications géométriques. — I. Cherchons l'équation de la circonférence passant par trois points donnés Alt A.., A3. Soient^, y^, (x2, y<i), i.v;,, yz) les coordonnées rectangulaires de ces points et
x~ -\- y~ = ax -\- by -f- c l'équation du cercle. On aura les égalités de condition
#î + y\ = a°C\ -f- ty\ -f c, \
h y\ =- axz -|- by3 -f c,
qui servent à déterminer les paramètres a, b, c. Pour que le système (2) admette une solution, il faut et il suffit que le déterminant | x\ yi 1 | soit
Neuberg. — Algèbre,
différent de zéro, ou que les points A1? A,, A3 soient les sommets d'un triangle proprement dit. Si cette condition est vérifiée, on a
■''i Vx 1
Il reste à porter ces valeurs dans l'équation (1), ce qui revient à exprimer que les équations (i) et (2) sont vérifiées par un même système de valeurs des inconnues a, b, c. L'équation cherchée est doue* (75)
