VÏ

II. Attribuons les coordonnées courantes x, y à un point déterminé A de la circonférence, et développons le déterminant (3) suivant les éléments de la première colonne; si S, Slt S2, S3 désignent les aires des triangles AjAoA^, A2A3A, A3AAj, AAjA., prises avec des signes convenables, il vient

OA..S — Oàï.S, + OA2.S2

Cette égalité exprime une relation nécessaire entre quatre points d'une circonférence et un cinquième point quelconque O. Remplaçons y O successivement par quatre points quelconques O, Ol5 02, 03 et éliminons S, Sj, S2, S3 entre les équations ainsi obtenues: nous aurons l'équation

OA OAi OA2 OA

OjA O^i 0^2 OjA3

03A2 03Ai Ô3II 03A3

C'est une relation entre les distances de quatre points d'une circonférence à quatre points quelconques de son plan. On peut faire coïncider les points O, Ob 0.2, 03 respectivement avec A, Als A2, A3; ce qui donne

AAi

AiA 0

AjA2

A3Ai

équation d'où l'on peut déduire que le produit des diagonales d'un quadrilatère inscriptible convexe est égal à la somme des produits des côtés opposés.

III. Soient A, \u A,, A3 quatre points quelconques du plan et appelons l) la valeur correspondante (lu déterminant (3); en développant comme ci-dessus nous aurons

l I) = 0A\ S — OAÎ. S, + OAj. S2 - OA3. ss.

Il est facile de voir (pie la valeur de I) est indépendante de la position de l'origine (); en effet, si l'on transporte les axes au point (a, S), il faut

remplacer x, y, xx, yu ... par ar-f-a, y -\- (3, a-, | a, yx -f Jj, ... Le déterminant (3) devient

on retrouve sa forme primitive en soustrayant de la £° et de la 3e colonne la 4" multipliée respectivement par a et par (3, puis de la lte les trois autres multipliées respectivement par 2a, 28, a2-]- 82.

Cela posé, nous pouvons éliminer les quantités 1), S, Slf S2, S3 entre l'équation (7), les trois analogues qui correspondent à trois autres points Oi, 0.2, G3 et l'équation

0 = S — Si + S2 + S3 ;

nous aurons une relation,

1 ôjÂs

1 OoA"

oA.;

OoA? ÔJlI 0~âJ O3A1 O3A2 O3A3

entre les distances de quatre points quelconques A, A,, A2, A3 à quatre autres points quelconques O, Ol5 02, G3.

Faisons coïncider les deux quadrilatères AA1A2A3, 0010;i03 ; nous aurons légalité suivante entre les côtés et les diagonales d'un quadrilatère:

AAi

A 3 Ai

Discussion des équations linéaires.