II. On vient de trouver l'égalité

(a* + 62) (c2 4- d:z) = (ac — bd)1- -f (ad + 6c)2 ;

il en résulte que le produit de deux nombres, égaux, chacun, à la somme de deux carrés, est égal à la somme de deux carrés. L'hypothèse c = a, d = b donne la formule des triangles rectangles numériques :

[a1 -f- V~y = (a2 — b*)2 + {2ab)z.

16. Théorème. — Pour qu'un produit de facteurs réels ou imaginaires soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

Le théorème est évident pour un produit dont tous les facteurs sont réels.

Considérons maintenant un produit zz'z" composé de facteurs quelconques. Pour qu'il soit nul, il faut et il suffit (7) que son module soit nul. Mais ce module, égal au produit des modules de z, z', z", est un produit de facteurs réels; donc il faut et il suffit que l'un de ces facteurs soit nul, par exemple | z |, ce qui revient à z = 0.

17. Représentation géométrique d'un produit. — Soient OZ, OZ' [fi g. 8) les vecteurs des imaginaires

z = r(cos 0 -f i sin 0), z' = r'(cos 6' -f- i sin fi').

Fig. S.

Prenons sur OX la longueur OU égale à l'unité; OU est le

vecteur unitaire. Si l'on construit le triangle OZ'A directement

semblable au triangle OUZ, OA sera le vecteur du produit zz'.

En effet,