Théorème de M. Rouché. — Soit

Xn = an\xx + aracci -f ... + anm^m — *n = 0, !

un système quelconque de n équations linéaires à m inconnues. Considérant le tableau formé avec les coefficients des inconnues,

#nl #n2 ••• flnmi

nous examinerons successivement différents cas.

i° n = m et le déterminant qui correspond au tableau (T; est différent de zéro. Le système (1) admet alors une solution unique (73).

2° n > m et un déterminant formé avec m ligues de T est différent de zéro. Soit, pour fixer les idées,

Um\ Clny>

ce déterminant; il comprend les m premières lignes de (T). Les équations correspondantes

X1==0, X2 = 0, ... Xm=0 (2)

admettent alors une solution unique; pour que le système (2) soit compatible avec l'une des autres équations, par exemple avec l'équation Xa = 0, (a = m + 1, m -h 2, ... n), il faut et il suffit (75) que le déterminant

Clct<

ft"xm "y.

soit nul. Si l'un des déterminants 8a n'est pas nul, le système (1) est contradictoire.

3° m > n et l'un des déterminants formés avec n colonnes de (T) n'est pas nul. Soit, par exemple,

«ni a

ne

ce déterminant; il comprend les n premières colonnes de (T).

Nous pourrons résoudre les équations (1) par rapport aux n inconnues xu x2, ... xn dont le déterminant des coefficients est différent de zéro (73). Les valeurs des autres inconnues restant arbitraires, le système proposé est indéterminé.

4° Supposons enfin que tous les déterminants formés avec m lignes de (T) si m ^ n, ou avec n colonnes de (T) si n < m soient nuls. Nous cherchons alors parmi les déterminants formés avec les éléments communs à un certain nombre de lignes et à un nombre égal de colonnes de (T), le déterminant de l'ordre le plus élevé qui n'est pas nul. Soit

ip

lu

PP

ce déterminant; nous le faisons correspondre aux p premières équations et aux p premières inconnues (s'il n'en était pas, on ferait un changement de notations). Le nombre p, d'après nos hypothèses, est inférieur au plus petit des nombres m et n; de plus, tous les déterminants partiels déduits de (T) et d'un ordre supérieur à p, sont nuls.

Nous nommerons 8 le déterminant principal (*) du système (1). Si le tableau (T) donne plusieurs déterminants d'ordre p qui sont différents de zéro, l'un quelconque d'entre eux peut être choisi pour déterminant principal.

Cette dénomination s'applique aussi aux déterminants désignés par S dans les deux cas précédents et au déterminant qui correspond au tableau (T) dans le premier cas.

Le système d'équations

xp = o

peut être résolu par rapport aux inconnues xlt x2, . . xp dont le déterminant des coefficients est différent de zéro (73); les valeurs ainsi obtenues sont des fonctions des autres inconnues #p+i, .Xp+2, ... xn. Pour que les valeurs obtenues vérifient l'une des autres équations, par exemple l'équation Xa — 0, il faut cfe il suffit (75) que le déterminant

Ocl 0C2

axp y a.

soit nul, yr désignant la quantité qui, dans X, , représente le terme indépendant des inconnues .vT, .\\2, .. xp, c'est-à-dire

Si l'on remplace les y par leurs valeurs, on peut décomposer le déterminant (3) en plusieurs autres (49) en réduisant la dernière colonne successivement à chacune de ses files; tous les déterminants ainsi obtenus, à l'exception du dernier

Cia<

-ap

-P ha

sont nuls comme étant égaux aux produits de x9+.lt #P+2, ... xu par un déterminant, d'ordre p -\- 1, déduit du tableau (T). Donc, si l'on désigne par oa le déterminant (4), le système proposé sera possible, mais indéterminé (les valeurs de Aîp+i, .vp+:>, . . xn restant arbitraires), pourvu que l'on ait

8p+i = 0, oH 2 = 0, . . Sn = 0. (5)

Il sera impossible si l'une des conditions (5) n'est pas remplie. Les déterminants Ba ont reçu le nom de déterminants caractéristiques du système (lj.

En résumé : Pour que n équations à m inconnues soient compatibles, il [mit et il suffit que les déterminants caractéristiques soient tous nuls. Dans cette hypothèse, le système n une solution unique ou il est indéterminé, suivant que le nombre des inconnues est égal au degré du déterminant principal ou lui est supérieur.

Cet énoncé s'applique aux quatre cas considérés.

82. Remarque. — Lorsque le système (1) est compatible, et le degré du déterminant principal inférieur à celui des équations, les fonctions Xlt X2, ... Xn ne sont pas distinctes.

En effet, considérons le déterminant

Xn

ClOLn Xc

et supposons qu'on y remplace les X par leurs valeurs explicites. Si nous le décomposons en n -\- 1 déterminants en réduisant la dernière colonne successivement à chacune de ses files, tous les déterminants obtenus sontjnuls à l'exception du dernier qui est égal à — ou. Comme ox est nul, le déterminant (5) l'est également, et en appelant Xl5 X2t ... Xp les mineurs relatifs aux p premiers éléments de la dernière colonne, on peut écrire

X^ -f X2X2 + ... + ÀpXp + 8X« .= 0.